Zusammenfassung
Eines der wichtigsten Probleme in der Theorie der konformen Abbildung ist das der Normalabbildung. Man kann zeigen, daß man jeden schlichten Bereich von endlichem Zusammenhang1 durch geeignete analytische Funktionen umkehrbar eindeutig und konform auf gewisse Normalbereiche abbilden kann. Das sind Gebiete, deren Berandung besonders einfach ist. Wir nennen als Beispiele:
-
a)
Parallelschlitzbereiche. Hier sind die Randkurven parallele Strecken (Abb. 7a und 7b z.B.).
-
b)
Vollkreisbereiche.
-
c)
Radial- und Kreisschlitzbereiche. Der Rand besteht hier aus Strecken, deren Trägergeraden durch den Nullpunkt gehen bzw. aus Kreisbögen, die auf Kreisen um,den Nullpunkt liegen (Abb. 8a und 8b).
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Literaturverzeichnis
Unter gewissen Voraussetzungen kann man auch Gebiete von unendlich hohem Zusammenhang auf entsprechende Normalbereiche abbilden. Siehe darüber z.B. Meschkowski [1] und [2].
Siehe dazu auch Bergman [4], Kap. IX.
Man findet diese Beweise bei Bieberbach und Nehari [8].
Es sei an die Verabredung über das Gebiet G in der Einleitung von Kap. IV erinnert.
Wir schreiben jetzt M’(z, u) statt M’(z, u), weil wir jetzt über die Art der Abhängigkeit von u im klaren sind. Nach (8) ist M’ analytisch in z, antianalytisch in u.
Diese Umformung setzt voraus, daß die Funktionen ϕv(z) alle auf dem Rand noch regulär sind. Es gibt nach Kap. IV gewiß Systeme, die diese Eigenschaft haben.
Vgl. dazu die Einleitung von Kap. IV.
Zum Nachweis der Schlichtheit der Abbildung zieht man das Argumentprinzip heran.
Siehe z.B. Bieberbach.
Literaturangaben findet man in der Arbeit von Masatsugo.
Wir bringen den Beweis für die Existenz einer speziellen — besonders wichtigen — Abbildungsfunktion dieses Typs. Die Fragestellung bei Grunsky ist allgemeiner.
Vgl. dazu § IV 6.
Vgl. Nehari [8], S. 11.
Nach (65) ist Kλ antianalytisch in ζ. Wir drücken das durch die Schreibweise Kλ=Kλ (z,ζ) aus.
Vgl. dazu auch Meschkowski [2].
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© 1962 Springer-Verlag OHG. Berlin · Göttingen · Heidelberg
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Meschkowski, H. (1962). Normalabbildungen. In: Hilbertsche Räume mit Kernfunktion. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 113. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94848-0_7
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