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Beispiele von Hilbertschen Räumen mit reproduzierendem Kern

  • Herbert Meschkowski
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 113)

Zusammenfassung

Wir wollen jetzt die grundlegenden Sätze des dritten Kapitels benutzen, um für einige wichtige Hilbertsche Funktionenräume die Existenz eines reproduzierenden Kerns nachzuweisen. In vielen Fällen ist dabei die Menge Eein Gebiet der komplexen z-Ebene (oder der reellen x-y-Ebene). Wir werden dann voraussetzen — auch wenn es nicht jedesmal ausdrücklich erwähnt wird —, daß dieses Gebiet1 G beschränkt ist und von n glatten Kurven \( \left( {g = \sum\limits_{\nu = 1}^n {{g_\nu }} } \right) \) begrenzt wird.

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Literaturverzeichnis

  1. 1.
    Die Bezeichnungen „Bereich“ und „Gebiet“ werden synonym gebraucht.Google Scholar
  2. 2.
    Man findet die Ableitung der Formeln (1) und (2) z.B. bei COURANT: Vorlesungen über Differential-und Integralrechnung, Bd. 2.Google Scholar
  3. 1.
    Wir wollen einen solchen Bereich G’einen inneren Teilbereich von Gnennen.Google Scholar
  4. 1.
    Man beachte die in den ersten Sätzen dieses Kapitels festgelegten Eigenschaften des Bereiches G.Google Scholar
  5. 1.
    Siehe z.B. Behnke-Sommer.Google Scholar
  6. 1.
    Wenn es erforderlich ist, bezeichnen wir die Hilbertschen Funktionenräume näher durch Angabe der Menge E, in der die Funktionen definiert sind. Also z.B. H(B)(G), HB( z< 1) usf.Google Scholar
  7. 2.
    Wir werden später sehen, daß. das auch für mehrfach zusammenhängende Bereiche gilt.Google Scholar
  8. 1.
    Wir beschränken uns der Einfachheit wegen auf einen zweidimensionalen Bereich. Die Überlegungen dieses Abschnitts lassen sich aber leicht auf (offene) Bereiche in n-dimensionalen Euklidischen Räumen übertragen.Google Scholar
  9. 1.
    Siehe dazu PüSCHEL. Für die Gl. (28′) wird der Beweis im Kap. X erbracht.Google Scholar
  10. 2.
    g(P, Q) steht für g(x1, x2; ξ1, ξ2). P ist der Punkt mit den Koordinaten x1 und x2, Q der mit ξ1 und ξ2.Google Scholar
  11. 3.
    Siehe auch PüSCHEL.Google Scholar
  12. 1.
    Siehe § 5.Google Scholar
  13. 2.
    Man beachte die Voraussetzungen über G,die am Anfang dieses Kapitels gemacht wurden.Google Scholar
  14. 1.
    Der Radius des Kreises in Abb. 4 ist dabei gleich 1 gesetzt.Google Scholar
  15. 2.
    Zum Beispiel Nehari [8], Kap. 1.Google Scholar
  16. 1.
    Siehe z.B. Nehari [8], S. 40.Google Scholar
  17. 1.
    Die Normierungsvorschrift (57) ist hier nicht zu vermeiden: In die Norm und in das innere Produkt gehen doch die Ableitungen der Potentialfunktionen ein. Man könnte deshalb zu jeder Funktion eine Konstante addieren, ohne daß sich an der Norm und an den inneren Produkten etwas ändert. Zu jeder Funktion u = const gehört dann die Norm U = 0. In einem Hilbert-Raum muß aber (Kap. II 1) aus u = 0 folgen u = 0.Google Scholar
  18. 1.
    Im Kapitel XI gehen wir ausführlicher auf die Funktionen mit mehreren komplexen Veränderlichen ein; dort werden auch die wichtigsten Definitionen gegeben. Hier wollen wir nur die Existenz des reproduzierenden Kerns nachweisen.Google Scholar
  19. 2.
    f(z1,z2) ist dann bei festem z2 eine reguläre Funktion von z1 und umgekehrt. Im übrigen vgl. Kap. XI.Google Scholar
  20. 3.
    Wenn die Abhängigkeit des Bergman-Raumes (für zwei komplexe Veränderliche) vom Gebiet G ausgedrückt werden muß, schreiben wir HB(2) (G).Google Scholar
  21. 1.
    Siehe z.B. Nevanlinna, S. 37.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag OHG. Berlin · Göttingen · Heidelberg 1962

Authors and Affiliations

  • Herbert Meschkowski
    • 1
  1. 1.Freien Universität BerlinDeutschland

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