Zusammenfassung
In diesem Teil wird eine systematische Übersicht über solche Bereiche (insbesondere Polygonbereiche) gegeben, deren konforme Abbildung mit den in Teil A gegebenen mathematischen Hilfsmitteln man vollständig beherrscht. Dabei gehört zum Begriff der vollständigen Lösung eines Abbildungsproblems nicht nur die analytische Darstellung der Abbildungsfunktion (etwa durch ein Schwarz-Christoffelsches Integral), sondern es muß darüber hinaus noch die vollständige Einsicht in die Abhängigkeit der Lösungen von ihren Parametern gewonnen werden, damit diese Parameter in jedem Einzelfall den geometrischen Konstanten des vorgegebenen Bereichs angepaßt werden können.
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Literatur
Vgl. z. B.Epheser, H., u. F. Stallmann: Arch. Math. 3, 276–281 (1952).
Nähere Einzelheiten über die praktische Durchführung dieser Abbildung sowie weitere Verallgemeinerungen findet man in A. Betz, Konforme Abbildung, Berlin-Göttingen-Heidelberg 1948, 191 ff. und 208ff.
Es erweist sich hier als zweckmäßig, den Hauptwert des Logarithmus für negativ reelle Zahlen nicht von vornherein festzulegen. Je nach der Art der analytischen Fortsetzung sollen in diesem Fall für den Imaginärteil des Logarithmus die Werte + π oder — π zugelassen werden.
Bei diesen Umformungen ist von den Grundeigenschaften der Gamma-funktion Gebrauch gemacht worden. Vgl. z. B. Whittaker-Watson: A course of modern Analysis. S. 237, 239, 254 (Cambridge 1927). (Unveränderter Nachdruck 1952.)
Bei der Umströmung eines endlichen Profils ist ein Krümmungssprung der Randkurve unerwünscht, er gibt Anlaß zu einer vertikalen Wendetangente der Strömungsgeschwindigkeit als Funktion der Bogenlänge. Das oben behandelte Dreieck ist der einfachste Bereich, dessen Randkurve einen endlichen Krümmungssprung aufweist; man übersieht hier die Verhältnisse vollkommen und kann auf den Charakter der Abbildungsfunktion im allgemeinen Fall schließen. Vgl. hierzu: W. v. Koppenfels: Ebene Potentialströmung längs einer glatten Wand mit stückweise stetiger Krümmung. Luftfahrt-Forsch. 17, 189–195 (1940).
Siehe hierzu auch C. Carathéodory, Funktionentheorie II, 116ff., Basel 1950.
Schwarz, H. A.: J. reine u. angew. Math. 75, 324 (1873); Werke II, 247.
Vgl. v. Koppenfels, W., J. reine angew. Math. 181, 114ff. (1939).
Eine andere Ableitung der Übergangssubstitutionen, die sich auf die Integraldarstellung von Barnes stützt, findet man etwa bei Bieberbach, Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage dargestellt. S. 204 ff. (Berlin-Göttingen-Heidelberg 1953). — Die im Text gegebene Ableitung von W. v. Koppenfels ist bisher nicht veröffentlicht worden.
Es sei darauf hingewiesen, daß die folgende Überlegung auch dann völlig durchgeführt werden kann, wenn die Parameter den einschränkenden Bedingungen nicht genügen, d. h. wenn nicht alle Ecken des Vierecks im Endlichen liegen. An die Stelle der Seiten treten dann die „Perioden” des Vierecks, die immer endliche Länge besitzen. Vgl.W.v. Koppenfels: Das hypergeometrische Integral als Periode der Vierecksabbildung. S. B. Akad. Wiss. Wien 146, 11–22 (1937).
Dieses Gebiet kann auch den unendlich fernen Punkt enthalten und erscheint dann als das „Äußere“ eines Kreisbogendreiecks.
Mit Rücksicht auf die später anzuwendende Fortsetzungsrelation wird in dieser Formel (— w) als Basis der Potenz gewählt. Die Wahl der Konstanten c wird noch vorbehalten.
Offenbar können nicht alle Winkel gleich π sein.
Wenn man durch eine lineare Transformation die unter dem Winkel 2 Θ π sich schneidenden Kreise in gerade Linien verwandelt, wird die Symmetrie evident.
Diese Aufgabe behandelt E. Wolff, Einfluß der Abrundung scharfer Eintrittskanten auf den Widerstand von Flügeln. Ing. Arch. 4, 521 (1933). Da der Verf. die Symmetrie des Bereichs nicht ausnutzt, sondern gleich den ganzen Bereich abbildet, hat er ein Kreisbogendreieck mit zwei gestreckten Winkeln und muß bei der Bildung der Fundamentallösungen anstelle der einen fortfallenden Potenzreihe durch Grenzübergang eine Ersatzlösung mit logarithmischen Zusatz-gliedern bilden, deren analytische Fortsetzung dann ebenfalls gesondert zu berechnen ist. Die Eckenanordnung des Bildvierecks kann dann nur für ein Zahlenbeispiel numerisch ermittelt werden.
Trotzdem ist dieser Bereich, als Geradenpolygon betrachtet, ein Viereck, da der uneigentliche Punkt einer Geraden beim Geradenpolygon immer die Bedeutung einer Ecke mit dem Innenwinkel — π hat.
Man überzeugt sich anhand der allgemeinen Abbildungen (Abb. 33, 34) leicht davon, daß die schlitzartigen Fortsätze in diesem Fall nicht berücksichtigt zu werden brauchen. Dies hat seinen Grund darin, daß die Ecke z (λ; λ) ein Schlitzende ist.
Man kann sich diese Riemannsche Fläche durch Spiegelung der oberen Halbebene an der Halbgeraden w > 1 und der Strecke λ < w < 0 entstanden denken.
Man überzeugt sich anhand der allgemeinen Abb. 56 davon, daß die schlitzartigen Fortsätze in diesem Fall nicht berücksichtigt zu werden brauchen und im Fall λ > 1 keine Verschiebung des Nullpunkts stattfindet. Der Grund dafür ist, daß die Ecke z (λ; λ) ein Schlitzende ist.
Die Überprüfung der Randzuordnung erfolgt ebenso wie im vorigen Beispiel. Die dortigen Ausführungen können wörtlich übernommen werden.
Vgl. die Fußnote 1 auf S. 290.
Man beachte den Pol des Integranden bei λ = — 2, für den das Residuum verschwindet. Dies bedeutet, daß die Randkurve des Bildpolygons in der λ-Ebene sich für λ = — 2 glatt durch den unendlich fernen Punkt hindurchzieht, wie es die Teilabbildungen der Abb. 86 erkennen lassen, wenn man die geometrischen Örter für z (λ; λ) aneinanderfügt.
Den Intervallen 0 < λ < 1 und λ > 1 entsprechen nicht-schlichte Schlitzbereiche in der z-Ebene, auf die nicht näher eingegangen wird.
Vierecke, bei denen gerade Vielfache von — als Innenwinkel auftreten, sind
Untersucht von W. v. Koppenfels, Konforme Abbildung ausgezeichneter Kreisbogenvierecke. S.-B. bayer. Akad. Wiss., math.-naturwiss. Kl. 1943, 327–343.
Koppenfels, W. v.: Konforme Abbildung besonderer Kreisbogenvierecke. J. reine angew. Math. 181, 83–124 (1939).
Wir bezeichnen, abweichend von unsern sonstigen Festsetzungen, diesen Parameter mit s, um ihn gegenüber den anderen singularen Stellen e v herauszuheben.
Dies entspricht dem in der Theorie der elliptischen Integrale wohlbekannten Satz, daß vollständige eliptische Integrale III. Gattung durch unvollständige Integrale erster und zweiter Gattung dargestellt werden können.
Siehe Fußnote 2, S. 300.
Siehe etwa Halphen: Traité des fonctions elliptiques. II Paris 1888.
Ebenso kommt man durch zweimalige Spiegelung zu Kreisbogenvierecken mit den vier gleichen Innenwinkeln 3/2 π (Außengebiet eines Kreisringsektors).
Ringleb, F.: Über die konforme Abbildung von Polygonen, Diss. Jena 1926.
Abgesehen von den hier unwesentlichen Vorzeichen der δ v .
Vgl. A 8.3, Abb. 57.
Durch eine lineare Abbildung der oberen w-Halbebene in sich läßt sich stets erreichen, daß irgend zwei im Innern gelegene Punkte diese spezielle Lage erhalten.
Die Abbildung des Parabeläußeren auf eine Halbebene ist schon in A, Abb. 31 dargestellt.
Einen Lösungsansatz für diese Abbildungsaufgaben bringt E. Graeser, Dtsch. Math. 2, 293–300 (1937). Die Herleitung weicht etwas von der unsrigen ab. Der Ansatz wird nicht vollständig durchgeführt und enthält ein Versehen, das v. Koppenfels, Dtsch. Math. 6, 558–564 (1942) korrigiert nebst weiteren Ausführungen zu diesen Abbildungsaufgaben.
Flügge-Lotz, J.,u. J. Ginzel: Ing.-Arch. 9, 268 (1940).
Lagally, M.: Z. angew. Math. Mech. 9, 299–305 (1929).
Lammel, E.: Z. angew. Math. Mech. 23, 289–291 (1943)
Lammel, E. Mh. Math. 51, 24–34 (1943).
Für n > 1 erhält man nicht mehr schlichte, sondern n-fach überdeckte Bereiche. Vgl. hierzu die Bemerkung am Ende von A 12.2, S. 125.
Mit dieser Abbildung kann die Zirkulationsströmung um Doppelflügel behandelt werden (vgl. A 3.2, Abb. 16). Es gelten hier die gleichen Überlegungen, wie beim 2. Beispiel 8.1, Fußnote 1, S. 342.
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von Koppenfels, W., Stallmann, F. (1959). Katalog der konformen Abbildung. In: Praxis der Konformen Abbildung. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 100. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94749-0_2
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