Zusammenfassung
Hilfssatz 1.1. Wenn in einem nach oben stetigen komplementären modularen Verband a ⋂ b = o ist, so existieren Elemente a′, a″, b′, b″ mit folgenden Eigenschaften: \(a = a'\;\dot \cup \;a'',\;b = b'\;\dot \cup \;b''.\) \(a' \sim b',\;e\left( {a''} \right)\; \cap \;e\left( {b''} \right) = {\rm{o}}{\rm{.}}\)
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Literaturverzeichnis
VON Neumann [6] III, Theorem 2.2. In Halperin [1] 550 ist dieser Satz für einen σ-vollständigen komplementären modularen Verband bewiesen, in dem die Bedingungen „wenn ai ↑ a, so ai⋂ b ↑ a ⋂ b“ und wenn „ai↓ a, so ai ⋃ b ↓ a ⋃ b“ für jede Folge (ai)i = 1, 2,… erfüllt sind.
Hier wird der Dimensionsbegriff durch die Festsetzung eingeführt, daß zwei Perspektive Elemente dimensionsgleich sind. Halperin [2] führte dagegen die Dimension auf folgende Art ein: G sei die Gruppe der Automorphismen T eines stetigen komplementären modularen Verbandes L. Die Gesamtheit der Zentrumselemente z, für die für alle T ∈ G stets T z = z, nennt man das Zentrum von L bezüglich G. Wenn das Zentrum von L bezüglich G nur aus o und 1 besteht, so heißt L irreduzibel bezüglich G. Andernfalls wird L reduzibel bezüglich G genannt. Gilt für a, b ∈ L: so schreibt man a = b. Weil diese Relation ≡ das reflexive, symmetrische und transitive Gesetz erfüllt, kann man somit definieren, daß a und b dieselbe Dimension haben, wenn a = b. Halperin [2] hat für den Fall der Irreduzibilität bezüglich G die Dimension von diesem Standpunkt aus untersucht. Maeda [2] hat für den Fall der Reduzibilität bezüglich G nachgewiesen, daß im Dimensionsverband ähnlich wie im Vektorenverband ein Satz von der Art des Radon-Niko-dymschen Satzes gilt. Da aber Sätze, die den Sätzen 4.5 und 4.6 dieses Kapitels entsprechen, auch im Falle der Reduzibilität bezüglich G gelten, läßt sich die Methode dieses Buches ohne weiteres auch auf diesen Fall anwenden. Die Dimension kann dann auch unendlich groß werden.
Nach Satz 1.7, Kapitel V, ist [L] ein vollständiger Verband.
VON Neumann [6] III, Theorem 2.14 und Theorem 2.35.
VON Neumann [6] III, Theorem 2.16.
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© 1958 Springer-Verlag OHG. Berlin · Göttingen · Heidelberg
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Maeda, F. (1958). Die wesentlichsten Eigenschaften stetiger komplementärer modularer Verbände. In: Kontinuierliche Geometrien. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 95. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94727-8_4
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