Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie

Zusammenfassung

Eine fruchtbare Idee Minkowskis war es, die Ausmessung von Kurvenlängen und Flächeninhalten auf die wesentlich einfachere räumliche Inhaltsmessung zurückzuführen; er griff auf die bereits von Cantor herangezogene äußere Parallelmenge zurück und ließ die Maße durch gewisse Grenzübergänge aus dem Parallelinhalt hervorgehen¹. Die konsequente Weiterverfolgung dieser Gedanken verbunden mit den naheliegenden Verallgemeinerungen auf höhere Dimensionen und beliebige Punktmengen führte zu einer allgemeinen Methode zur Ausmessung unterdimensionaler Gebilde im Raum, die an begrifflicher Einfachheit durch kein anderes System überboten werden konnte. Besonders erwähnenswert ist der Umstand, daß die Ansätze zur Maßbestimmung der verschiedendimensionalen Mengen desselben Raumes (Kurven, Flächen usw.) einem einfachen simultanen Gesetz folgen, das sogar eine Erweiterung auf beliebige reelle, also nicht ganzzahlige Dimensionen erlaubt. Dagegen sind die Minkowskischen Maßzahlen wohl mit dem Inhalt vergleichbar, nicht aber mit dem Maß, da sie zwar additiv, nicht aber volladditiv sind. In dieser Beziehung leisten sie weniger als andere nach neueren Methoden gewonnene Maße².