Einige Klassen von Riemannschen Flächen

Zusammenfassung

Durch das Perronsche Verfahren wurden wir in natürlicher Weise auf die Klasse der nullberandeten Flächen geführt, d. h. jene Riemannschen Flächen, auf denen jede negative subharmonische Funktion notwendig eine Konstante ist. Diese Flächenklasse ist in mehrfacher Hinsicht ausgezeichnet (L. V. Ahlfors [7]):

• 1) Genau auf den nullberandeten Riemannschen Flächen existiert keine Greensche Funktion (vgl. § 28.3). Wir bezeichnen deshalb die Klasse der nullberandeten Flächen mit O _g .

• 2) 2) Auf den nullberandeten Riemannschen Flächen und nur auf diesen ist der ideale Rand jedes Teilgebietes vom harmonischen Maß null (Satz IV. 10).

• 3) 3) Genau auf den nullberandeten Riemannschen Flächen gilt das uneingeschränkte Maximumprinzip: Ist G irgendein Teilgebiet von R mit dem Relativrand Γ ₀ und u eine beschränkte subharmonische Funktion auf G mit (math) sup u(p) ≦ m, so ist u ≦ m in G. Auf nullberandeten Flächen gilt dieses Prinzip gemäß Satz IV.6. Daß es auf einer positiv berandeten Fläche nicht mehr gilt, zeigt folgendes einfache Beispiel: Ist V eine Zelle auf R und bezeichnet Γ _∞ den idealen Rand von R, so ist das harmonische Maß H (Γ _∞ , R — V) von Γ _∞ in bezug auf das Gebiet R — V auf dem Rande von V gleich null und in R — V positiv.