Das Stabilitätsproblem

Zusammenfassung

Wir beginnen mit der Definition von Stabilität und Instabilität. Gegeben sei ein topologischer Raum R, dessen Punkte wir mit p bezeichnen, und es sei a ein fester Punkt von R. Unter Umgebungen sollen im folgenden nur Umgebungen von a in R verstanden werden. Es sei p₁ = Sp eine topologische Abbildung einer Umgebung U₁ auf eine Umgebung B₁, wobei der Punkt a = S a auf sich selbst abgebildet wird. Die inverse Abbildung p₋₁=S⁻¹p führt B₁ in U₁ über, und allgemeiner ist p_n = Sⁿp (n = 0, ± 1, ± 2, ...) eine topologische Abbildung einer Umgebung U _n auf eine Umgebung B _n , welche a als Fixpunkt besitzt. Für jeden Punkt p = p₀ des Durchschnitts U₁-B₁= W bilden wir die konsekutiven Bilder p_k+1 = Sp _k (k = 0, 1, ...), solange p _k in U₁ liegt, und ebenso p_−k−1 = S⁻¹p^−k, solange p_−k in B₁ liegt. Gibt es ein größtes r+1 =n, so liegen also p₀, ..., p_n−1 sämtlich noch in U₁ aber nicht mehr p _n , und Entsprechendes gilt für die negativen Indizes. Für jedes p aus W ist damit die endliche oder einseitig unendliche oder beiderseits unendliche Folge der Bildpunkte p _k = ..., p₋₁ p₀, p₁ ... erklärt, wobei der Index k konsekutive ganze Zahlen durchläuft.