Das Existenztheorem der Abelschen Funktionen

Zusammenfassung

Es sei

$$\Omega + ({\omega _{ik}}),{\text{ }}j = 1,2,...,p{\text{ }}k = 1,2,...,2p$$

((25.1))

die Riemannsche Matrix einer Abelschen Funktion f(u); dann wissen wir aus dem vorausgehenden, daß es zwei intermediäre Funktionen φ(u) und ψ(u) gibt, welche f(u) darstellen:

$$f(u) = \frac{{\varphi (u)}}{{\psi (u)}},$$

und bei Zunahme der Variablen u um eine Periode ω _h = Ωe _h **) sich bis auf einen Faktor reproduzieren, dessen Logarithmus eine ganze lineare Funktion der Variablen u ist, die wir mit Verwendung des Matrizenkalküls so schreiben wollen:

$$\varphi (u + {\omega _h}) = {e^{2\pi i{{\tilde e}_h}(\tilde \Lambda u + \gamma )}}\varphi (u),h = 1,2,...,2p;$$

((25.2))

dieselben Relationen gelten auch für ψ(u). Die hier auftretende (p, 2p)-Matrix

$$\Lambda = ({\lambda _{jk}}),{\text{ }}j = 1,2,...,p{\text{ k = 1,2,}}...{\text{,2p}}$$

((25.3))

besteht aus 2p ² komplexen Zahlen λ _jk , welche als Koeffizienten der 2p Linearformen in den Exponenten von (25.2) auftreten; sie heißen die „Perioden 2. Gattung“ der intermediären Funktionen φ(u) und ψ(u) im Gegensatz zu den „Perioden 1. Gattung“ (25.1); wir werden kurz Ω als die „1. Periodenmatrix“ Λ als die „2. Periodenmatrix“ bezeichnen.

The erratum of this chapter is available at http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-94669-1_9