Zusammenfassung
Von fundamentaler Bedeutung für die neuere Entwicklung der Gruppentheorie ist die auf 0. Schreier zurückgehende Erweiterung des Begriffes der freien Gruppe zu dem des freien Produktes:
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Definition 1.
Eine Gruppe 𝔊;Ω ist das freie Produkt der Untergruppen 𝔘ι (über ι ϵ 𝗅), wenn jedes (von E verschiedene) Element G ϵ 𝔊; Ω,ü eine eindeutige Darstellung
$$ G = {{U}_{{{{l}_{1}}}}}{{U}_{{{{l}_{2}}}}}...{{U}_{{{{l}_{n}}}}}\quad mit\quad {{l}_{{v - 1}}}\# {{l}_{v}}\quad f\ddot{u}r\;2 \leqq v \leqq n $$in von E verschiedenen Elementen U ι ϵ 𝔘 ι besitzt.
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Literatur
2.2.1. Zum Existenzsatz für freie Produkte von Gruppen vergleiche man: Schreier, O.: Die Untergruppen der freien Gruppen. Abh. Hamburg 5, 161–183 (1927).
Artin,E.: The free product of groups. Amer. J. Math. 69, 1–4 (1947).
Waerden, B. L. v. D. : Free products of groups. Amer. J. Math. 70, 527–528 (1948).
2.2.2. Die grundlegenden Ergebnisse über freie Produkte von Gruppen verdankt man A. Kurosch; man vergleiche: Kurosch, A. : Zur Zerlegung unendlicher Gruppen. Math. Ann. 106, 107–113 (1932).
Kurosch, A. : Über freie Produkte von Gruppen. Math. Ann. 108, 26–36 (1933).
Kurosch, A. : Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen. Math. Ann. 109, 647–660 (1934).
Der hier vorgeführte Beweis des Untergruppensatzes stammt seinem Gedankengang nach von: Kuhn, H. W. : Subgroup theorems for groups presented by generators and relations. Ann. of Math. (2) 56, 22–46 (1952).
Einen weiteren mit topologischen Mitteln arbeitenden Beweis gaben: Baer, R., u. F. Levi: Freie Produkte und ihre Untergruppen. Comp. math. 3, 391–398 (1936).
Dort findet man auch die erste Formulierung des Verfeinerungssatzes.
2.2.3. Der Zerlegungssatz, dessen Beweis im wesentlichen den Inhalt dieses Abschnittes ausmacht, stammt von A. Kurosch; man vergleiche: Gruschko, I. A.: Über die Basen eines freien Produktes von Gruppen [Russisch]. Mat. Sbornik, N. S. 8, 169–182 (1940).
Der Beweisführung liegt zugrunde: Neumann, B. H. : On the number of generators of a free product. J. London Math. Soc. 18, 12–20 (1943).
2.2.4. Die Untersuchung lokalfreier Gruppen geht zurück auf: Kurosch, A. : Lokalfreie Gruppen [Russisch]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 24, 99–101 (1939).
Eine lokalfreie Gruppe ist nicht einfach: Fuchs-Rabinowitsch, D. I. : Über die Nichteinfachheit einer lokalfreien Gruppe [Russisch]. Mat. Sbornik, N. S. 7, 327–328 (1940).
Die Untersuchungen über die Untergruppen freier Gruppen stützen sich hauptsächlich auf: Takahasi, M.: Note on locally free groups. Osaka Math. J. 1, 65–70 (1950).
Ferner vergleiche man: Magnus, W. : Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring. Math. Ann. 111, 259–280 (1935).
Auf den letzten Satz dieses Abschnittes läßt sich eine Topologie gründen: Hall, M. : A topology for free groups and related groups. Ann. of Math. (2) 52, 127–139 (1950).
2.2.5. Der Begriff des freien Produktes mit vereinigter Untergruppe stammt von: Schreier, O. : Die Untergruppen der freien Gruppen. Abh. Hamburg 5, 161–183 (1927).
Eine allgemeinere Fassung dieses Begriffes ist Gegenstand umfangreicher Untersuchungen geworden; ich verweise auf: Neumann, H. : Generalized free product with amalgamated subgroups. I., II. Amer. J. Math. 70, 590–628 (1948)
Eine allgemeinere Fassung dieses Begriffes ist Gegenstand umfangreicher Untersuchungen geworden; ich verweise auf: Neumann, H. : Generalized free product with amalgamated subgroups. I., II. Amer. J. Math. 71, 491–540 (1949).
Baer, R. : Free sums of groups and their generalizations. I., II., III. Amer. J. Math. 71, 706–742 (1949)
Baer,R. : Free sums of groups and their generalizations. I., II., III. Amer. J. Math. 72, 625–646, 647–670 (1950).
Neumann, B. H. and H. : A contribution to the embedding theory of group amalgams. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 3, 243–256 (1953).
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© 1956 Springer-Verlag OHG. Berlin · Göttingen · Heidelberg
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Specht, W. (1956). Freie Zerlegungen. In: Gruppentheorie. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 82. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94667-7_6
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