Zusammenfassung
Für manche Anwendungen ist es zweckmäßig, den Begriff des Endomorphismus zu dem des Operators zu verallgemeinern und eine Gruppe 𝔊 in Verbindung mit einem Operatorenbereich Ω zu behandeln:
Definition 1. Ein Operatorenbereich Ω für eine Gruppe 𝔊 ist eine (nichtleere) Menge, deren Elemente ω ϵ Ω Endomorphismen
ω: G → G ω für jedes G e 𝔊
der Gruppe © induzieren:
(G H) ω = G ω H ω für jedes Paar G, H ϵ11.
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Literatur
1.4.1. Der Gedanke, Gruppen in Verbindung mit Operatorenbereichen zu behandeln, tritt in voller Allgemeinheit wohl zuerst auf bei: Krull, W.: Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen. Math. Z. 23, 161–196 (1925).
Krull, W.: Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. Sitzgsber. Heidelberg. Akad. Wiss. 1926, 1–32.
Die grundlegende Arbeit in diesem Gedankenkreis ist: Noether, E.: Hyperkomplexe Zahlen und Darstellungstheorie. Math. Z. 30, 641–692 (1929).
1.4.2. Die Frattinische Gruppe einer endlichen Gruppe wurde entdeckt und untersucht von: Frattini, G.: Intorno alle generazione dei gruppi di operazioni L, II. Rend. Accad. Lincei (4) 1, 281–285, 455–457 (1885).
Sie wird auch als Hauptgruppe oder Φ-Untergruppe bezeichnet. Man vergleiche auch: Gaschütz, W.: Über die Φ-Untergruppe endlicher Gruppen. Math. Z. 58, 160–170 (1953).
Baer, R.: Nilpotent characteristic subgroups of finite groups. Amer. J. Math. 75, 633–664 (1953).
1.4.3. Der Inhalt dieses Abschnittes stammt in seinen wesentlichen Teilen von: Baer, R.: Splitting endomorphisms. Trans. Amer. Math. Soc. 61, 508–516 (1947).
1.4.4. Die Untersuchungen über abstrakte Gruppeneigenschaften stellen eine Zusammenfassung und Analyse von Überlegungen dar, die in der gruppentheoretischen Literatur allenthalben (mehr oder weniger bewußt) auftreten. Die Bezeichnung Syloweigenschaft habe ich gewählt, weil die Eigenschaft, eine p-Gruppe zu sein, eine Syloweigenschaft ist und L. Sylow als erster die p-Untergruppen einer (endlichen) Gruppe untersucht hat: Sylow, L.: Théorèmes sur les groupes des substitutions. Math. Ann. 5, 584–594 (1872).
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© 1956 Springer-Verlag OHG. Berlin · Göttingen · Heidelberg
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Specht, W. (1956). Gruppen mit Operatoren. In: Gruppentheorie. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 82. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94667-7_4
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