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Stationäre Temperaturfelder

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Part of the Praktische Funktionenlehre book series (FUNKTIONEN, volume 1)

Zusammenfassung

Wird in (403) die Temperatur ϑ als anabhängig von der Zeit zugrunde gelegt, so geht die allgemeine Wärmeleitungsgleichung in die stationäre Form
$$\frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial {z^2}}} = - \frac{{q(x,y,z)}}{\lambda }$$
(669)
über. Diese Differentialgleichung stimmt mit GI. (657) für die Sickerströmungen vollständig überein. Der piezometrischen Höhe entspricht die Temperatur, der Flüssigkeitsquelle bzw. Senke eine Wärmequelle bzw. Senke und der spezifischen Durchlässigkeit die Wärmeleitzahl. Im Falle eines zweidimensionalen Wärmeleitungsvorganges zieht sich (669) auf
$$ \frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial {y^2}}} = - \frac{{q(x,y)}}{\lambda}$$
(670)
zusammen. Dann kann ϑ als Durchbiegung einer Membran, q als deren Belastung und λ als deren Spannkraft gedeutet werden. In Polarkoordinaten lautet (670)
$$ \frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\,\frac{{\partial \vartheta }}{{\partial r}} + \,\frac{1}{{{r^2}}}\,\frac{{{\partial ^2}\vartheta }}{{\partial {\varphi ^2}}} = - \frac{{q(r,\,\varphi)}}{\lambda }.$$
(671)

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1950

Authors and Affiliations

  1. 1.KarlsruheDeutschland

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