Siebentes Kapitel

Zusammenfassung

Projektive Teilungen treten immer dann auf, wenn es sich um die Darstellung einer Funktion f(x) = y einer Veränderlichen x handelt, die mit dieser in der Beziehung

$$f\left(x \right)=\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$$

steht, worin a, b, c, d bestimmte gegebene Zahlen sind. Setzt man in der Gleichung

$$y=\frac{{ax+b}}{{cx+d}}$$

$y=\eta+\frac{a}{c}$ und $x=\xi-\frac{d}{c}$, so erhält man.

$$\xi\eta=\frac{{bc-ad}}{{{c^2}}}$$

die Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel mit dem Ursprung des Koordinatensystems als Mittelpunkt und den Koordinatenachsen als Asymptoten (Fig. 17). Es ist nun eine bekannte Eigenschaft einer solchen Hyperbel, daß die durch irgendeinen ihrer Punkte gezogenen Parallelen zu den Asymptoten durch Strahlen vom Ursprung derart geschnitten werden, daß die Längen der Abschnitte den Koordinaten eines anderen Hyperbelpunktes entsprechen.