Zusammenfassung
Integritätsbereiche von endlichem Transzendenzgrad. Es sei ℑ ein Integritätsbereich, der einen ausgezeichneten Körper, den „Grundkörper“ R0, enthält1; der Transzendenzgrad des Quotientenkörpers R von ℑ über R0 sei endlich, und zwar gleich n. Dann soll n auch als Transzendenzgrad von ℑ (über R0) bezeichnet werden1, und ℑ selbst soll kurz „Integritätsbereich von endlichem Transzendenzgrad“ heißen. — Ist þ ein Primideal aus ℑ, so bezeichnen wir mit Rp den Restklassenkörper ℑ(þ · ℑp) und fassen nach 1, Rp als Quotientenkörper von ℑ/p, als Oberring von R0 auf. Unter der „Dimension“ von p verstehen wir den gemeinsamen Transzendenzgrad, den ℑ/p und Rp über R0 besitzen.
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Literatur
van der Waerden [3], [15] § 90 (Dimensionstheorie der Polynomideale); Macaulay [3] Nr. 48-53 (Ungemischtheitssätze); Macaulay [3] Nr. 88ff., [5] Nr. 6 (Definition und Eigenschaften der perfekten Ideale). — Der Spezialfall a = (f1... fr) des Ungemischtheitssatzes, der für H-Ideale bereits von Lasker stammt, ist in van der Waerden [15] § 95 ausführlich behandelt; in van der Waerden [8] § 3 findet sich eine leicht beweisbare, wichtige Verallgemeinerung: Der Satz gilt, falls a selbst eine Dimension s < n-r haben sollte, wenigstens für jedes i.K.I. von a, das genau die Dimension n — r besitzt.
Noether [6], van der Waerden [3], [15] § 87-90, [19]. (In [19] die im Text besprochene Nullstellenkonstruktion und der Satz von Ritt.) Bemerkenswert ist die Tatsache, daß das bei der Nullstellenkonstruktion des Textes auftretende Polynom E(z; x1... xm; u) in anderm Zusammenhang unter dem Namen „Involutionsform“ bereits in Noether [1] vorkommt.
Hermann [1] § 2 und § 3. (Knappe und vollständige Darstellung aller Sätze von 20.) — Das Problem der Berechnung mit endlich vielen Schritten, das hier im Bericht nur gestreift wird, steht in der klassisehen, an Kronecker [1] anknüpfenden Polynomidealliteratur im Vordergrund des Interesses. Man vergleiche vor allem das König sche Lehrbuch (König [1]) und die große Ännalenarbeit von Macaulay (Macaulay [2]); siehe ferner Ostrowski [5], eine Arbeit, deren „Übertragungsprinzip“ unmittelbar an den Hilbertschen Satz von der Syzygienkette bzw. an den H-Satz des Textes anknüpft.
zu 21: Hentzelt [1] (Grundbegriffe, insbesondere „transformierte“ und „Grund“-Ideale); Noether [6] (Norm und Elementarteilerform; schärfste Fassung der Sätze, Darstellung teilweise nicht leicht lesbar); Hermann [1] (Berechnungsprobleme). — Eine Übertragung der Theorie von Grundidealen, Norm und Elementarteilerform auf den Fall beliebiger ganz abgeschlossener endlicher Integritätsbereiche findet sich bei Schmeidler [15] und [16] (vgl. 50.).
Zu der ausführlich beschriebenen Eliminationsmethode Hentzelt [1] § 6 und van der Waerden [7] § 2 und § 3. — Zu den Sätzen über homogene Gleichungssysteme und zu den zugehörigen Resultantenbildungen vor allem van der Waerden [15] Kap. 11 § 76-79 und van der Waerden [2], wo gleich der für die Anwendung auf die Multiplizitätstheorie unentbehrliche Fall behandelt wird, daß das vorgelegte Gleichungssystem nicht nur in einer, sondern in mehreren Variablenreihen homogen ist. Außerdem vgl. etwa: Mertens [1], [3], [4]; Kapferer [5]; Hurwitz [3]; Fischer [2]. Körpertheoretisch bemerkenswert ist Ostrowski [5] Kap. 1, 2, wo u. a. der folgende Satz bewiesen wird: Sind f1.... fn Polynome in x1... xn, bei denen die zu den homogenen Formen höchster Dimension gehörige Resultante nicht identisch verschwindet, so ist der Grad N des Körpers R0 (x1,... xn) über dem Körper R0 (f1,... fn) gleich dem Produkt der Gradzahlen der fi (vgl. hierzu z. B. auch van der Waerden [8]), und es hat der Polynomring B = A0[x1,... xn] über dem Unterring D = A0[f1,... fn] eine Modulbasis von genau N Elementen.
Zur 2 Darstellung des Textes: Macaulay [4], Sperner [1] (formale Charakterisierung der Hilbertschen Funktion), van der Waerden [5] (Gradtheorie), Dubreil [4], [5] (Punktgruppen und Raumkurven). — Vgl. ferner Hilbert [1], Lasker [1]; Macaulay [2] Abschn. V, Ostrowski [5] Kap. 4 (Methoden zur Berechnung der Hilbertschen Funktion, bei Ostrowski vor allem auch für kleine Werte von l, bei denen die Polynomdarstellung von x(a, l) versagt); Noether [11], van der Waerden [8].
§ 4. — Besonders nachdrücklich, sei auf die historische Bedeutung von Lasker [1] hingewiesen. Dort ist nicht nur die Gradtheorie für Polynom-und Potenzreihenringe (vgl. 20.) in den Grundzügen entwickelt und bereits die Anwendbarkeit auf das Vielfachheitsproblem — sogar in dem in 28. zu besprechenden „mehrfach projektiven“ Fall — angedeutet; es wird auch die Theorie der HiLBERTSchen Funktion auf Polynomideale mit ganzzahligen Koeffizienten ausgedehnt und damit ein Problem angegriffen, das anscheinend bis heute noch keine wesentliche Weiterbearbeitung erfahren hat.
Macaulay [1], [3] Abschn. IV, [5] Nr. 5. Zur algebraischen Fassung des Restsatzes vgl. auch Schmeidler [8], — An dieser Stelle möge ferner noch auf einige weitere Arbeiten Schmeidlers Mngewiesen werden: [6], [7], [9] (idealtheoretische Definition und genauere Untersuchung der Singularitäten algebraischer Gebilde, vgl. hierzu auch Krull [27], Helms [1]); [14] (algebraische Fassung des geometrischen Begriffs der „adjungierten Kurve“). — Im Gegensatz zu Macaulay arbeitet Schmeidler zunächst stets inhomogen („affin-rationale Geometrie“) und untersucht erst nachträglich die projektive (und birationale) Invarianz seiner Begriffsbildungen. — Eine ausführliche Behandlung der Schmeidler-schen Arbeiten ist hier nicht möglich, da die Formulierung der nötigen Definitionen und die Abgrenzung der Tragweite der gewonnenen Ergebnisse zuviel Platz beanspruchen würde.
van der Waerden [17] (Schnittpunktsformeln), [18] (Flächengeraden), [21] und vor allem [22] (Korrespondenztheorie nebst geometrischen Anwendungen). — Vgl. ferner van der Waerden [5], wo — unter Hinweis auf das bereits von Lasker aufgestellte Programm — die Gradtheorie der Hilbertschen Funktion, die wir der Einfachheit halber nur einfach projektiv dargestellt haben, von vornherein doppeltprojektiv entwickelt ist. — Zur Würdigung der historischen Bedeutung von Lasker [1] vgl. die Bemerkung am Schlüsse von 24.
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Krull, W. (1935). Polynomringe. In: Idealtheorie. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94181-8_3
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