Polynomringe

  • W. Krull
Part of the Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete book series (MATHE1, volume 3)

Zusammenfassung

Integritätsbereiche von endlichem Transzendenzgrad. Es sei ℑ ein Integritätsbereich, der einen ausgezeichneten Körper, den „Grundkörper“ R0, enthält1; der Transzendenzgrad des Quotientenkörpers R von ℑ über R0 sei endlich, und zwar gleich n. Dann soll n auch als Transzendenzgrad von ℑ (über R0) bezeichnet werden1, und ℑ selbst soll kurz „Integritätsbereich von endlichem Transzendenzgrad“ heißen. — Ist þ ein Primideal aus ℑ, so bezeichnen wir mit Rp den Restklassenkörper ℑ(þ · ℑp) und fassen nach 1, Rp als Quotientenkörper von ℑ/p, als Oberring von R0 auf. Unter der „Dimension“ von p verstehen wir den gemeinsamen Transzendenzgrad, den ℑ/p und Rp über R0 besitzen.

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Literatur

  1. van der Waerden [3], [15] § 90 (Dimensionstheorie der Polynomideale); Macaulay [3] Nr. 48-53 (Ungemischtheitssätze); Macaulay [3] Nr. 88ff., [5] Nr. 6 (Definition und Eigenschaften der perfekten Ideale). — Der Spezialfall a = (f1... fr) des Ungemischtheitssatzes, der für H-Ideale bereits von Lasker stammt, ist in van der Waerden [15] § 95 ausführlich behandelt; in van der Waerden [8] § 3 findet sich eine leicht beweisbare, wichtige Verallgemeinerung: Der Satz gilt, falls a selbst eine Dimension s < n-r haben sollte, wenigstens für jedes i.K.I. von a, das genau die Dimension nr besitzt.Google Scholar
  2. Noether [6], van der Waerden [3], [15] § 87-90, [19]. (In [19] die im Text besprochene Nullstellenkonstruktion und der Satz von Ritt.) Bemerkenswert ist die Tatsache, daß das bei der Nullstellenkonstruktion des Textes auftretende Polynom E(z; x1... xm; u) in anderm Zusammenhang unter dem Namen „Involutionsform“ bereits in Noether [1] vorkommt.Google Scholar
  3. Hermann [1] § 2 und § 3. (Knappe und vollständige Darstellung aller Sätze von 20.) — Das Problem der Berechnung mit endlich vielen Schritten, das hier im Bericht nur gestreift wird, steht in der klassisehen, an Kronecker [1] anknüpfenden Polynomidealliteratur im Vordergrund des Interesses. Man vergleiche vor allem das König sche Lehrbuch (König [1]) und die große Ännalenarbeit von Macaulay (Macaulay [2]); siehe ferner Ostrowski [5], eine Arbeit, deren „Übertragungsprinzip“ unmittelbar an den Hilbertschen Satz von der Syzygienkette bzw. an den H-Satz des Textes anknüpft.Google Scholar
  4. zu 21: Hentzelt [1] (Grundbegriffe, insbesondere „transformierte“ und „Grund“-Ideale); Noether [6] (Norm und Elementarteilerform; schärfste Fassung der Sätze, Darstellung teilweise nicht leicht lesbar); Hermann [1] (Berechnungsprobleme). — Eine Übertragung der Theorie von Grundidealen, Norm und Elementarteilerform auf den Fall beliebiger ganz abgeschlossener endlicher Integritätsbereiche findet sich bei Schmeidler [15] und [16] (vgl. 50.).Google Scholar
  5. Zu der ausführlich beschriebenen Eliminationsmethode Hentzelt [1] § 6 und van der Waerden [7] § 2 und § 3. — Zu den Sätzen über homogene Gleichungssysteme und zu den zugehörigen Resultantenbildungen vor allem van der Waerden [15] Kap. 11 § 76-79 und van der Waerden [2], wo gleich der für die Anwendung auf die Multiplizitätstheorie unentbehrliche Fall behandelt wird, daß das vorgelegte Gleichungssystem nicht nur in einer, sondern in mehreren Variablenreihen homogen ist. Außerdem vgl. etwa: Mertens [1], [3], [4]; Kapferer [5]; Hurwitz [3]; Fischer [2]. Körpertheoretisch bemerkenswert ist Ostrowski [5] Kap. 1, 2, wo u. a. der folgende Satz bewiesen wird: Sind f1.... fn Polynome in x1... xn, bei denen die zu den homogenen Formen höchster Dimension gehörige Resultante nicht identisch verschwindet, so ist der Grad N des Körpers R0 (x1,... xn) über dem Körper R0 (f1,... fn) gleich dem Produkt der Gradzahlen der fi (vgl. hierzu z. B. auch van der Waerden [8]), und es hat der Polynomring B = A0[x1,... xn] über dem Unterring D = A0[f1,... fn] eine Modulbasis von genau N Elementen.Google Scholar
  6. Zur 2 Darstellung des Textes: Macaulay [4], Sperner [1] (formale Charakterisierung der Hilbertschen Funktion), van der Waerden [5] (Gradtheorie), Dubreil [4], [5] (Punktgruppen und Raumkurven). — Vgl. ferner Hilbert [1], Lasker [1]; Macaulay [2] Abschn. V, Ostrowski [5] Kap. 4 (Methoden zur Berechnung der Hilbertschen Funktion, bei Ostrowski vor allem auch für kleine Werte von l, bei denen die Polynomdarstellung von x(a, l) versagt); Noether [11], van der Waerden [8].Google Scholar
  7. § 4. — Besonders nachdrücklich, sei auf die historische Bedeutung von Lasker [1] hingewiesen. Dort ist nicht nur die Gradtheorie für Polynom-und Potenzreihenringe (vgl. 20.) in den Grundzügen entwickelt und bereits die Anwendbarkeit auf das Vielfachheitsproblem — sogar in dem in 28. zu besprechenden „mehrfach projektiven“ Fall — angedeutet; es wird auch die Theorie der HiLBERTSchen Funktion auf Polynomideale mit ganzzahligen Koeffizienten ausgedehnt und damit ein Problem angegriffen, das anscheinend bis heute noch keine wesentliche Weiterbearbeitung erfahren hat.Google Scholar
  8. Macaulay [1], [3] Abschn. IV, [5] Nr. 5. Zur algebraischen Fassung des Restsatzes vgl. auch Schmeidler [8], — An dieser Stelle möge ferner noch auf einige weitere Arbeiten Schmeidlers Mngewiesen werden: [6], [7], [9] (idealtheoretische Definition und genauere Untersuchung der Singularitäten algebraischer Gebilde, vgl. hierzu auch Krull [27], Helms [1]); [14] (algebraische Fassung des geometrischen Begriffs der „adjungierten Kurve“). — Im Gegensatz zu Macaulay arbeitet Schmeidler zunächst stets inhomogen („affin-rationale Geometrie“) und untersucht erst nachträglich die projektive (und birationale) Invarianz seiner Begriffsbildungen. — Eine ausführliche Behandlung der Schmeidler-schen Arbeiten ist hier nicht möglich, da die Formulierung der nötigen Definitionen und die Abgrenzung der Tragweite der gewonnenen Ergebnisse zuviel Platz beanspruchen würde.Google Scholar
  9. van der Waerden [17] (Schnittpunktsformeln), [18] (Flächengeraden), [21] und vor allem [22] (Korrespondenztheorie nebst geometrischen Anwendungen). — Vgl. ferner van der Waerden [5], wo — unter Hinweis auf das bereits von Lasker aufgestellte Programm — die Gradtheorie der Hilbertschen Funktion, die wir der Einfachheit halber nur einfach projektiv dargestellt haben, von vornherein doppeltprojektiv entwickelt ist. — Zur Würdigung der historischen Bedeutung von Lasker [1] vgl. die Bemerkung am Schlüsse von 24.Google Scholar

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© Julius Springer in Berlin 1935

Authors and Affiliations

  • W. Krull

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