Zusammenfassung
Isolierte Komponentenideale. In 3. wurden im Anschluß an die Theorie der O-Ringe die einfachsten Grundlagen der additiven Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung besprochen. Die damaligen Ergebnisse können charakterisiert werden durch die Schlagworte „minimales Primoberideal“, „Radikal“, „isolierte Primärkomponente“. Das Haupthilfsmittel bei den Beweisen bildete der Begriff des m. a. (multiplikativ abgeschlossenen) Elementsystems. Die m. a. Systeme ermöglichten insbesondere den Existenzbeweis für die isolierten Primärkomponenten. Die Verallgemeinerung der damaligen Überlegungen führt zu folgender von vanderWaerden ([6] § 2) stammenden Definition
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Literatur
van der Waerden [6] §2 (i.K.I. bei O-Ringen); Krull [15] (Hauptkomponenten); Krull [17] (Kleindrueksatz vom Schluß der Nummer); Krull [7] („formal axiomatisch“, vgl. die Schlußbemerkung von 43.); Mori [1], [2], [4] (weitere SpezialUntersuchungen über Primärkomponenten). — E. Noether definierte ursprünglich ([4] § 7, vgl. auch van der Waerden [15] § 84) die i.K.I. nur bei Idealen der Form a = q1 ∩ · · · ∩ q m , und zwar direkt durch gruppenweise Zusammenfassung der Primärkomponenten, so daß die oben für diese Ideale formulierten Satze Selbstverständlichkeiten wurden.
Grell [1] (Allgemeine Theorie) sowie Grell [2] § 2 und Krull [11] § 2, § 3 (Quotientenringe bei einartigen Integritätsbereichen mit O-Satz). — Bei Krull [11] ist der Quotientenringbegriff etwas allgemeiner gefaßt als bei Grell und im Text; das ist dort nötig, um den Satz zu gewinnen, daß jeder Unterring eines endlichen algebraischen Zahlkörpers Quotientenring eines Integritätsbereichs aus ganzen algebraischen Zahlen ist. Vgl. hierzu auch Skolem [1].
Krull [15] § 3 (Einbau von ℜ in ℜ nur ganz kurz angedeutet), Köthe [1] § 2 (Durchführung des Einbaus von ℜ in ℜ* im Rahmen weitergehender Untersuchungen, gleich für den nichtkommutativen Fall).
Außer den im Text bereits angeführten Arbeiten kommen vor allem noch solche zu den beiden zuletzt behandelten Aufgaben in Betracht, und zwar: Zu a) Mori [9] (wo auch Ringe ohne Einheitselement betrachtet sind und die für die Ringe ℭ i notwendige Primidealbedingung durch einen gleichwertigen Kettensatz ersetzt ist). Zu b) Krull [5], [6], Mori [8] (Multiplikationsringe mit O-Satz); Mori [12], [13] (allgemeinste Multiplikationsringe, auch solche ohne Einheitselement). — Der Satz von der Existenz der Hülle ℳ* findet sich allerdings in Mori [12] noch nicht; dort werden vielmehr die Multiplikationsringe axiomatisch charakterisiert, und zwar durch das am Schlüsse von 5. angegebene Sonoshce „Ersatzaxiom für Ganzabgeschlossenheit“ und zwei weitere Forderungen. — Zur Theorie der linearen Gleichungen, Matrizen und Moduln im Bereich eines Z.P.I.-Ringes, aus der wir oben ein Beispiel für die Anwendungsmöglichkeiten des Hauptidealsatzes entnommen haben, vgl. die grundlegenden Arbeiten Steinitz [1], [2], sowie die vereinfachten Darstellungen bei Krull [26], Franz [1], Chevalley [2].
Älter als der Begriff der irreduziblen und v. red. Gruppe ist der — allerdings eng verwandte — Begriff des irreduzibien und v. red. Matrizensystems, der bei der Untersuchung der Matrizendarstellungen von endlichen Gruppen oder allgemeiner von endlichen hyperkomplexen Systemen entstand. Auch die Definitionen der Loewyschen Kompositionsreihen sind ursprünglich aus den Sätzen über Matrizenkomplexe von Loewy [1] und [2] herauspräpariert. — Diesem Ursprung entsprechend spielen die irreduziblen und v. red. Gruppen in der nichtkommutativen Darstellungstheorie (vgl. etwa Noether [13], van der Waerden [15] Kap. 16) eine weit größere Rolle als in der kommutativen Idealtheorie. — Als grundlegend für die kommutativen Anwendungen seien genannt: Sono [1] (Jordansche Kompositionsreihe speziell bei Idealen); Noether [8] (Jordansche Kompositionsreihe und Ideallänge vom Standpunkt der allgemeinen Operatorgruppen); Krull [8] (Jordansche und Loewysche Kompositionsreihe); Krull [11] (v. red. Gruppen mit unendlich vielen Summanden). — Ferner sei noch auf die — im folgenden nicht behandelten — idealtheoretischen Anwendungen in den Arbeiten Sono [5], Mori [6], [7] hingewiesen. Der „Sonosche Ring“, der kein Einheitselement zu enthalten braucht, ist dadurch ausgezeichnet, daß der Restklassenring jedes Ideals eine Gruppe mit JoRDANscher Kompositionsreihe darstellt; die „primären Ideale“ Sonos sind nicht immer „Primärideale“ im Sinne des Textes. — Vgl. schließlich die Behandlung der Operatorgruppen in van der Waerdens Lehrbuch ([14] Kap. 6).
Krull [8] § 4, van der Waerden [5] Abschn. III (Gruppentheorie der O-Ringe); Krull [2] § 8, [11] § 5 (bel. stark primäre Ringe)
Schmeidler [2] § 1, Krull [2] §4 (Hilbertsche Zahlen); Gröbner [1] (Theorie der irreduziblen Ideale mit vielfachen Anwendungen).
Krull [12]. Vgl. ferner bei Macaulay [3] Nr. 51 und 52 die interessante Untersuchung, wann in einem Polynomring alle Potenzen eines Primideals primär sind und wann nicht.
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Krull, W. (1935). Abstrakte additive Idealtheorie. In: Idealtheorie. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94181-8_2
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