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Zusammenfassung

Von den zahlreichen Einzelproblemen über Schwingungen elastischer Körper, welche mit Näherungsmethoden behandelt worden sind, kann nur eine beschränkte Auswahl getroffen werden. Es sei zunächst eine kurze Zusammenstellung derjenigen Fälle gegeben, bei denen die Behandlung von Schwingungen elastischer Systeme in der Technik besonders interessiert und durchgeführt worden ist.

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Literature

  1. 1.
    Vgl. z. B. E. Netto: Die Determinanten. Leipzig 1925.MATHGoogle Scholar
  2. 2.
    Siehe z. B. C. Runge: Praxis der Gleichungen, § 21. Berlin 1921.Google Scholar
  3. 3.
    Über eine andere Methode der Auflösung der Säkulargleichung siehe das Referat über eine russische Arbeit von A. Kryloff: Zbl. Math. Bd. 2 (1932) S. 291, graphische Methoden geben H. H. Jeffcott: Philos. Mag. (7) Bd. 3 (1927) S. 689 und R. Soderberg: Ebenda (7) Bd. 5 (1928) S. 47.Google Scholar
  4. 1.
    Selbst bei Beschränkung auf kleine Schwingungen führt das Problem auf ein System von linearen Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten. Vgl. E. Trefftz: Vorträge aus dem Gebiet der Aerodynamik und verwandter Gebiete, S. 214. Aachen 1929. Numerische Auswertungen des Trefftzschen Ansatzes sind enthalten in den Arbeiten von F. Kluge: Ing.-Arch. Bd. 2 (1931) S. 119 und von T. E. Schunck: Ebenda Bd. 2 (1931) S, 591. In der zuletzt genannten Arbeit wird die in 11 dargestellte Methode der Störungsrechnung auf die Trefftzschen Differentialgleichungen angewendet. Vgl. auch die Arbeiten von J. R. Goldsbrough: Proc. Roy. Soc. London A Bd. 109 (1925) S. 99; Bd. 113 (1927) s. 259.Google Scholar
  5. 2.
    An Lehrbüchern, die Drehschwingungen von Maschinenwellen behandeln, seien außer den bereits zitierten genannt: Geiger, L: Technische Schwingungen und ihre Messung. Berlin 1927.CrossRefGoogle Scholar
  6. 2a.
    Holzer, H.: Die Berechnung der Drehschwingungen. Berlin 1921.MATHCrossRefGoogle Scholar
  7. 2b.
    Föppl, O.: Grundzüge der technischen Schwingungslehre. Berlin 1923.MATHCrossRefGoogle Scholar
  8. 2c.
    Wydler, H.: Drehschwingungen in Kolbenmaschinenanlagen. Berlin 1922. Eine sehr eingehende Diskussion aller hierhergehörigen Fragen und ziemlich vollständige Literaturangaben finden sich bei F. M. Lewis: Trans. Soc. Naval Arch. Marine Engs. Bd. 33 (1925) 109–145.CrossRefGoogle Scholar
  9. 1.
    Die bei Kreiselmaschinen auftretenden Schwingungserscheinungen und kritischen Drehzahlen werden ausführlich behandelt bei A. Stodola: Dampfund Gasturbinen. Berlin 1924. Über Schwingungen von Schaufeln und Schaufelgruppen siehe E. Schwerin: Z. techn. Physik Bd. 8 (1927) S. 312Google Scholar
  10. 1a.
    A. Stodola: Verh. 2. intern. Kongreß techn. Mech., S. 207. Zürich 1926.Google Scholar
  11. 1b.
    Vgl. auch die zusammenfassende Arbeit von W. Hort: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 70 (1926) S. 1375, 1419, die insbesondere auch Material über die Scheibenschwingungen enthält.Google Scholar
  12. 2.
    Die Fundamente der modernen Großkraftmaschinen werden nicht mehr als massive Blöcke, sondern in aufgelöster Bauweise als Rahmenkonstruktionen ausgeführt. Infolge der verhältnismäßig geringen Steifigkeit solcher Fundamente und der hohen Drehzahl der Kraftmaschinen können starke Resonanzschwingungen der Fundamente entstehen. Von Arbeiten; die sich mit der Berechnung und Messung von Fundamentschwingungen befassen, seien genannt: Ehlers, G.: Beton und Eisen Bd. 28 (1929) H. 22 u. 23.Google Scholar
  13. 2a.
    Fuhrmann, O.: Bauing. Bd. 12 (1931) S. 417.Google Scholar
  14. 2b.
    Geiger, I.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 67 (1923) S. 287.Google Scholar
  15. 2c.
    Kayser, H., u. A. Troche: Beton und Eisen Bd. 29 (1930) S. 15, 119.Google Scholar
  16. 2d.
    Müller, P.: Bauing. Bd. 10 (1929) S. 228.Google Scholar
  17. 2e.
    Prager, W.: Z. techn. Physik Bd. 9 (1928) S. 223Google Scholar
  18. 2f.
    Prager, W.: Bauing. Bd. 8 (1927) S. 923.Google Scholar
  19. 2g.
    Rausch, E.: Beton und Eisen Bd. 27 (1928) S. 396Google Scholar
  20. 2h.
    Rausch, E.: Bauing. Bd. 11 (1930) S. 226, 247.Google Scholar
  21. 2i.
    Spilker, A.: Ebenda Bd. 12 (1931) S. 573, 601.Google Scholar
  22. 2j.
    Wingerter, E.: Ebenda Bd. 8 (1927) S. 515. Vor allem interessiert auch die Frage nach dem Energieverlust infolge der in den Boden ausgestrahlten Wellen. Vgl. hierüber G. Bornitz: Über die Ausbreitung der von Großkolbenmaschinen erzeugten Bodenschwingungen in die Tiefe. Berlin 1932.Google Scholar
  23. 2k.
    Ferner A. Heinrich: Diss. Breslau 1930.Google Scholar
  24. 2l.
    Mintrop, L.: Diss. Göttingen 1911.Google Scholar
  25. 3.
    Das Schiff wird als schwingender Stab mit freien Enden betrachtet. Der Einfluß des umgebenden Wassers ist nur schwer abzuschätzen. Vgl. E. B. Moullin: Verh. 3. intern. Kongreß techn. Mech. Bd. 3 (Stockholm 1931) S. 28Google Scholar
  26. 3a.
    E. B. Moullin: Proc. Cambridge Philos. Soc. Bd. 24 (1928) S. 531.MATHCrossRefGoogle Scholar
  27. 3b.
    Ältere Untersuchungen über Schiffsschwingungen sind referiert bei A. Kriloff u. C. H. Müller: Die Theorie des Schiffs. Enz. Math. Wiss. IV Bd. 3 (1907) S. 559.Google Scholar
  28. 1.
    Über Schwingungen von Schornsteinen vgl. K. Döhring: Beton und Eisen Bd. 28 (1929) S. 352.Google Scholar
  29. 1a.
    Lehr, E.: Ebenda Bd. 27 (1928) S. 301. — P.M.: Ebenda Bd. 27 (1928) S. 400. — Betreffend Schwingungen von Leuchttürmen siehe C. Ribiere: Phares et Signaux maritimes. Paris 1908.Google Scholar
  30. 2.
    Vgl. H. Rohde: Bauing. Bd. 11 (1930) S. 214.Google Scholar
  31. 3.
    Eine Übersicht über die Probleme der Brückendynamik gibt R. Bernhard: Bauing. Bd. 11 (1930) S. 481. Die Messung der Eigenschwingungszahl einer Brücke in regelmäßigen Zeitabständen kann als gute Kontrolle für den Bauzustand der Brücke verwertet werden, da sich eine Veränderung in der Steifigkeit auf diese Art leicht nachweisen läßt. An Arbeiten über die Berechnung und Messung von Brückenschwingungen seien weiter genannt: Bernhard, R.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 73 (1929) S. 1675 — Stahlbau Bd. 1 (1928) S. 145.Google Scholar
  32. 3a.
    Bernhard, R., u. W. Späth: Ebenda Bd. 2 (1929) S. 61.Google Scholar
  33. 3b.
    Bühler, A.: Schweizerische Ingenieurbauten in Theorie und Praxis. Zürich 1926.Google Scholar
  34. 3c.
    Geiger, I.: Bauing. Bd. 5 (1924) S. 606.Google Scholar
  35. 3d.
    Hawranek: Der Eisenbau 1914 H. 7.Google Scholar
  36. 3e.
    Hort, W.: Bautechnik Bd. 6 (1928) S. 37, 50.Google Scholar
  37. 3f.
    Jeffcott, H.H.: Philos. Mag. (7) Bd. 8 (1929) S. 66.MATHGoogle Scholar
  38. 3g.
    Inglis, C.: Proc. Inst. Civil Engs. Bd. 218 (1924) S. 225.Google Scholar
  39. 3h.
    Kulka, H.: Stahlbau Bd. 3 (1930) S. 301.Google Scholar
  40. 3i.
    Steiner, F.: Z. öst. Arch. Ing. Ver. Bd. 44 (1892) S. 113, 149.Google Scholar
  41. 3j.
    Streletzky, N.: Bautechnik Bd. 5 (1927) S. 598.Google Scholar
  42. 1.
    Hohenemser, K., u. W. Prager: Ing.-Arch. Bd. 3 (1932) S. 306.CrossRefGoogle Scholar
  43. 1.
    Die Methode wurde zuerst entwickelt von L. Gümbel für die Transversalschwingungen eines Stabes (Schiffsschwingungen): Jb. schiffbautechn. Ges. Bd. 2 (1901) S. 209. Die Übertragung der Methode auf die Drehschwingungen von Wellen mit Berücksichtigung von dämpfenden Kräften behandelt Gümbel in den Arbeiten in der Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 55 (1912) S. 1025; Bd. 63 (1919) S. 771, 802; Bd. 66 (1922) S. 252. Die gleiche Methode wurde ohne Kenntnis der Gümbelschen Arbeiten angegeben von R.V. Southwell: Philos. Mag. (6) Bd. 41 (1921) S. 419.Google Scholar
  44. 2.
    Es ist das das bekannte Mohzrsche Verfahren. Vgl. z. B. A. Föppl: Technische Mechanik Bd. 2, § 13. Berlin 1900.Google Scholar
  45. 1.
    Die graphische Integration der Differentialgleichung \( {\left( {py'} \right)^\prime } + f\left( x \right) = 0 \) und entsprechend auch die der homogenen Differentialgleichung läßt sich ebenfalls mit Hilfe einer Methode von V. Blaess [Z. techn. Physik Bd. 9 (1928) S. 7] ausführen, die auf einer geometrischen Interpretation der Taylorschen Reihe beruht. Eine Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes zur Blaessschen Methode gibt W. Meyer zur Capellen: Z. techn. Physik Bd. 11 (1930) S. 259.Google Scholar
  46. 1.
    Die Rechnungsergebnisse sind der Arbeit von W. Meyer zur Capellen [Ann. Physik (5) Bd. 8 (1931) S. 297] entnommen.Google Scholar
  47. 1.
    Vgl. H. Deutler: Z. techn. Mech. Thermodyn. Bd. 1 (1930) S. 434.Google Scholar
  48. 1a.
    Dreves: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 62 (1918) S. 588.Google Scholar
  49. 1b.
    Geiger, I.: Diss. Charlottenburg 1914.Google Scholar
  50. 1c.
    Föppl, O.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 367.MATHCrossRefGoogle Scholar
  51. 1d.
    Kohn, P.: Maschinenbau Bd. 5 (1926) S. 220.Google Scholar
  52. 1e.
    Rausch, E.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 203. Bei den praktisch interessierenden Fällen kommt immer eine Reihe von gleichen Einzelträgheitsmomenten vor, die äquidistante Abstände voneinander haben, entsprechend den Kurbeln der Kolbenmaschinenwellen. Man kann daher die Rechnung so weit vorbereiten, daß die Welle nur noch wie ein System mit ganz wenigen Massen berechnet wird. In dieser Richtung gehen die Arbeiten von H. Behrens: Wert Reederei und Hafen Bd. 11 (1930) S. 55, 141.MATHCrossRefGoogle Scholar
  53. 1f.
    Benz, W.: Automobiltechn. Z; Bd. 33 (1930) S. 648.Google Scholar
  54. 1g.
    Geiger, I.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 65 (1921) S. 1241.Google Scholar
  55. 1i.
    Göller, F.: Ebenda Bd. 74 (1930) S. 497.Google Scholar
  56. 1j.
    Grammel, R.: Ing.-Arch. Bd. 2 (1931) S. 228.CrossRefGoogle Scholar
  57. 1k.
    Sass, F.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 65 (1921) S. 67.Google Scholar
  58. 1l.
    Taylor, J. L.: Engg. Bd. 131 (1931) S. 259. An weiterer Literatur über Drehschwingungen seien hier genannt: Brauchitsch, E. v.: Z. techn. Physik Bd. 4 (1923) S. 426.Google Scholar
  59. 1m.
    Eichelberg, G.: Festschrift Stodola zum 70. Geburtstag, S. 122. Zürich 1929.Google Scholar
  60. 1n.
    Föppl, O.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 223.MATHCrossRefGoogle Scholar
  61. 1o.
    Fox, J. F.: J. Amer. Soc. Naval Engs. Bd. 38 (1926) S. 695.CrossRefGoogle Scholar
  62. 1p.
    Frahm: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 46 (1902) S. 779, 886.Google Scholar
  63. 1q.
    Frith, J., u. E.H. Lamb: J. Inst. Mech. Engs. Bd. 31 (1901) S. 646.Google Scholar
  64. 1u.
    Janson, E. N., u. J. O. Richardson: J. Amer. Soc. Naval Engs. Bd. 29 (1917) S. 1.CrossRefGoogle Scholar
  65. 1t.
    Lürenbaum, K.: Luftfahrtforschg. Bd. 6 (1929) S. 97. Das an Stelle der Kurbelwelle verwendete Ersatzsystem ist mit der gleichen Steifigkeit gegen Verdrehung zu versehen, wie sie die Kurbelwelle besitzt. Mit Untersuchungen über die Torsionssteifigkeit von Kurbelwellen beschäftigen sich die Arbeiten von B. C. Carter: Engg. Bd. 126 (1928) S. 36.Google Scholar
  66. 1v.
    Stieglitz, A.: Jb. Deutsch. Versuchsanst. f. Luftfahrt 1929 S. 426.Google Scholar
  67. 1x.
    Timoshenko, S.: Trans. Amer. Soc. Mech. Engs. Bd. 44 (1922) S. 653.Google Scholar
  68. 2.
    Lewis, F. M.: J. Amer. Soc. Naval Engs. Bd. 31 (1919) S. 857. Dasselbe Verfahren wurde von R. Grammel [Z. angew. Math. Mech. Bd. 5 (1925) S. 193] zur Auflösung der Differentialgleichung der Drillungsschwingungen einer Scheibe angegeben, welche in die Form der Differentialgleichung (43) gebracht werden kann.CrossRefGoogle Scholar
  69. 1.
    Die Methode wurde angegeben von W. Prager: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 527. Auf die Behandlung von Drehschwingungen wurde sie angewendet von S. Gradstein: Ebenda Bd. 3 (1932) S. 206. Berechnungen der Schwingungszahlen von Wellen mit stückweise konstantem Querschnitt finden sich auch bei Ch. Platrier [J. Ecole Polytechn. (2) Bd. 25 (1925) S. 93] und bei O. Sesini [Torino Atti Bd. 55 (1919) S. 365].MATHCrossRefGoogle Scholar
  70. 1.
    Courant-Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Bd. 1 S. 361. Die asymptotischen Beziehungen der Eigenwerte auch für mehrdimensionale Bereiche wurden untersucht von H. Weyl: Math. Ann. Bd. 71 (1912) S. 441.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  71. 2.
    Z.B.: O. Föppl: Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 367.MATHCrossRefGoogle Scholar
  72. 2a.
    Grammel, R.: Ing.-Arch. Bd. 2 (1931) S. 228. — Wydler, H.: Drehschwingungen in Kolbenmaschinenanlagen.CrossRefGoogle Scholar
  73. 1.
    Courant-Hilbert: Meth. mathem. Physik Bd. 1 S. 366.Google Scholar
  74. 2.
    Schwerin, E.: Z. techn. Physik.Bd. 8 (1927) S.264 — Verh. 2. intern. Kon-greß techn. Mech., S. 138. Zürich 1926.Google Scholar
  75. 1.
    Borowicz, W.: Diss. München 1915.Google Scholar
  76. 1a.
    Vgl. auch R. Grammel: Ergebn. exakt. Naturwiss. Bd. 1 (Berlin 1922) S. 92.CrossRefGoogle Scholar
  77. 1b.
    Zerkowitz, G.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929) S. 487.MATHCrossRefGoogle Scholar
  78. 1.
    Diese Beziehung wurde wohl zuerst von K. Baumann [J. Inst. Electr. Engs. Bd. 48 (1911) S. 768] verwendet. I. Geiger [Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 67 (1923) S. 287] benutzt die Formel auch zur Berechnung der Schwingungszahlen von Fundamentrahmen (vgl. Fig. 8).Google Scholar
  79. 2.
    Die Formeln, die ich Herrn W. Prager verdanke, scheinen in der Literatur nicht bekannt zu sein.Google Scholar
  80. 1.
    Die Formeln, die ich Herrn W. Prager verdanke, scheinen in der Literatur nicht bekannt zu sein.Google Scholar
  81. 1.
    Die Beziehung (49) wurde zum erstenmal von A. Morley [Engg. Bd. 88 (1909) S. 135, 205] verwendet und aus dem Rayleighschen Minimumprinzip abgeleitet. In der deutschen Maschinenbauliteratur ist sie für γ 0 = 1 unter der Bezeichnung Kullsche Formel [Kull, G.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 62 (1928) S. 249], im Bauingenieurwesen unter der Bezeichnung Kaysersche Formel bekannt [Kayser, H.: Ebenda Bd. 73 (1929) S. 1305. — Siehe auch H. Kayser u. A. Troche: Beton und Eisen Bd. 29 (1930) S. 15. — Troche, A.: Ebenda Bd. 29 (1930) S. 119]. Die Formel (49) wurde weiter verwendet und auf ihre Genauigkeit hin untersucht von J. J. Koch: Verh. 2. intern. Kongr. techn. Mech., S. 213. Zürich 1926 — Eenige Toepassingen von de Leer der Eigenfuncties op vragstukken uit de toegepasste Mechanica. Proefschrift. Delft 1929. — Hohenemser, K.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 271. (49) ist ebenfalls für mehrfach gelagerte Stäbe zu benutzen und liefert auch dort sehr gute Näherungen für den Grundton, wenn das Vorzeichen von γ 0 entsprechend der Schwingungsform in aufeinanderfolgenden Feldern abgewechselt wird, so daß der Integrand immer positiv ist. Vgl. A. Morley: Engg. Bd. 106 (1918) S. 573, 601. O. Föppl [Z. angew. Math. Mech. Bd. 7 (1927) S. 72] leitet die Beziehung (49) aus einer Impulsbetrachtung ab und kommt zu dem Ergebnis, daß in aufeinanderfolgenden Feldern die Teilintegrale in (49) mit verschiedenem Vorzeichen eingesetzt werden müssen, wodurch auch der Fall von kleinen Differenzen großer Zahlen eintreten kann. Um auch dann noch brauchbare Näherungen für die Eigenfrequenz zu erhalten, schlägt O. Föppl an Stelle von (49) eine andere Beziehung vor, deren Anwendung sich jedoch erübrigt, wenn man (49) als Quotient aus maximaler potentieller und maximaler kinetischer Energie der Schwingungsform γ 1 deutet und entsprechend alle Teilintegrale in den einzelnen Feldern des durchlaufenden Balkens positiv einsetzt.Google Scholar
  82. 1.
    Hohenemser, K., u. W. Prager: Ing.-Arch. Bd. 3 (1932) S. 306. Dort ist auch die Beziehung (51) wohl zum erstenmal im selben Sinne wie das Rayleighsche Prinzip angewendet worden. Als Kontrolle für das Iterationsverfahren wurde (51) von V. Blaess [Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 58 (1914) S. 183] benutzt. An Arbeiten, welche das Rayleigh-Ritzsche Verfahren unter Zugrundelegung der Extremal-form (50) anwenden, seien genannt: Akimoff, N. W.: Trans. Soc. Naval Arch. New York Bd. 26 (1918) S. 11 für Schiffschwingungen.CrossRefGoogle Scholar
  83. 1a.
    Den Hartog, J. P.: Philos. Mag. (7) Bd. 5 (1928) S. 400 für die Transversalschwingungen eines kreisbogenförmigen Stabes.MATHGoogle Scholar
  84. 1b.
    Karas, K.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 84, 158 für die kritischen Drehzahlen mit Längsbelastung und Kreiselwirkung.MATHCrossRefGoogle Scholar
  85. 1c.
    Kenlyan, G. H.: Bur. of Stand. J. of Res. Bd. 6 (1931) S. 553 Rep. 293 auf Schwingungen von U-Trägern.Google Scholar
  86. 1d.
    Liebers, F.: Z. techn. Phys. Bd. 9 (1929) S. 361 für Propellerschwingungen.Google Scholar
  87. 1e.
    Melan, H.: Z. öst. Ing. Arch. Verein Bd. 69 (1917) S. 610, 619 für kritische Drehzahlen mit Längslast der Welle.Google Scholar
  88. 1f.
    Pöschl, Th.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 469 für Schwingungen von Rahmen.MATHCrossRefGoogle Scholar
  89. 1g.
    Sörensen, E.: Werft, Reederei und Hafen Bd. 9 (1928) S. 67 für Schwingungen von Dampfturbinenschaufeln.Google Scholar
  90. 1.
    Gümbel, L.: Jb. schiffbautechn. Ges. Bd. 2 (1901) S. 209.Google Scholar
  91. 1a.
    Southwell, R. V.: Philos. Mag. (6) Bd. 41 (1921) S. 419.Google Scholar
  92. 2.
    Die von E. Oehler [Techn. Mech., Beiheft zur Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 69 (1925)] ausgeführte Rechnung entspricht der Anwendung von Differenzengleichungen.Google Scholar
  93. 1.
    Dunkerley, S.: Philos. Trans. Roy. Soc. London A Bd. 185 (1894) S. 279.CrossRefGoogle Scholar
  94. 2.
    R. C. J. Howland [Philos. Mag. (6) Bd. 49 (1925) S. 1131] berechnet auch Korrekturen zu der Dunkerleyschen Formel (52), welche er dadurch erhält, daß in der Reihe für y die ersten drei Glieder berücksichtigt werden.Google Scholar
  95. 3.
    Meyer zur Capellen, W.: Ann. Physik (5) Bd. 8 (1931) S. 297.MATHCrossRefGoogle Scholar
  96. 4.
    Vgl. die Rechnungen von H. H. Jeffcott [Philos. Mag. (6) Bd. 42 (1921) S. 635], die bereits sehr langwierig sind, obwohl nur wenige punktförmige Massen vorausgesetzt werden.Google Scholar
  97. 1.
    E. Darnley [Philos. Mag. (6) Bd. 41 (1921) S. 81] beweist für den Sonderfall eines homogenen Stabes, der auf n Stützen gelagert ist, den Satz, daß die Grundschwingungszahl einen Extremwert annimmt, wenn die Stützen äqui-distanten Abstand voneinander haben. Es ist das eine Spezialisierung des in 11 behandelten Satzes, wonach die Grundschwingungszahl eines in n Punkten gebundenen Systems am höchsten wird, wenn die festgehaltenen Punkte mit den Knoten der n ten Oberschwingung zusammenfallen. Über Transversalschwingungen durchlaufender Träger siehe auch: Cowley, W. L., u. H. Levy: Proc. Roy. Soc. London A Bd. 95 (1918) S. 405.Google Scholar
  98. 1a.
    Kaufmann, W.: Z. angew. Math, Mech. Bd. 2 (1922) S. 34.MATHCrossRefGoogle Scholar
  99. 1b.
    Küssner, H. G.: Luftfahrtforschg. Bd. 4 (1929) S. 63. Auch Küssner untersucht ähnlich wie Darnley den Einfluß von Verschiebungen der Zwischenstützen.Google Scholar
  100. 1c.
    Prager, W.: Ing.-Arch. Bd. 3 (1932) S. 298 Nomogramm für die Schwingungszahlen eines Trägers auf 4 Stützen.CrossRefGoogle Scholar
  101. 1d.
    Smith, D. M.: Engg. Bd. 120 (1925) S. 808 Nomogramm für die Darnleysche Rechnung. — Shogenji: Mem. Coll. Engg. Kyushu Bd. 3 (1924) Nr. 3 Stäbe mit Axialkraft, Rayleighsches Verfahren.Google Scholar
  102. 2.
    Prager, W.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 527.MATHCrossRefGoogle Scholar
  103. 2a.
    Prager, W., u. S. Gradstein: Ebenda Bd. 2 (1931) S. 622. Es sei bemerkt, daß in der zuletzt genannten Arbeit die Formel (13) S. 628, soweit sie sich auf die Berücksichtigung der Längskraft bezieht, unrichtig ist, eine Richtigstellung wird demnächst imIng.-Arch.Bd.3 (1932) veröffentlicht werden.Google Scholar
  104. 1.
    Eine Tabellierimg der dynamischen Durchbiegung als Funktion der harmonisch veränderlichen Enddurchbiegungen und Endmomente eines Balkenabschnitts ist in Vorbereitung.Google Scholar
  105. 1.
    Für den Fall des einseitig eingespannten Stabes, der am anderen Ende eine Einzelmasse trägt, findet sich bei A. Esau und M. Hempel [Z. teehn. Physik Bd. 11 (1930) S. 150] eine Gegenüberstellung der genauen Rechnung von W. Hort (Technische Schwingungslehre, S. 459. Berlin 1922) mit einer Näherungsrechnung von Lord Rayleigh (Theory of Sound, S. 287), der als benachbartes System den Stab ohne Einzelmasse verwendet. Die Näherung weicht selbst bei einem Verhältnis von Einzelmasse zu Stabmasse von 3: 1 um weniger als 1 % von dem genauen Wert ab. Die mangelnde Übereinstimmung der Rechnung mit den Versuchen ist allerdings nicht, wie die Verfasser glauben, auf Konto der Rechnung zu setzen, worauf auch schon Th. Pöschl [Z. techn. Physik Bd. 11 (1930) S. 220] hinwies. Da es sich um beträchtliche Einzelmassen handelt, wird die Abweichung der Versuchsergebnisse von den Rechnungswerten vermutlich daran liegen, daß die Einzelmasse nicht punktförmig angenommen werden darf. Die Näherung (50) ist allgemein ausgewertet worden für den Fall eines Stabes, der am einen Ende frei, am anderen eingespannt ist und dessen Querschnitts- und Trägheitsmomentenverlauf durch Superposition einer Geraden mit einer Sinuslinie dargestellt wird, von W. Hort: Z. techn. Physik Bd. 6 (1925) S. 181Google Scholar
  106. 1a.
    Verh. 1, intern. Kongreß techn. Mech., S. 282. Delft 1924 — ebenfalls „Hütte“, Ingenieurtaschenbuch Bd. 1 (Berlin 1925) S. 403. Als Grundsystem wird der Stab mit konstanter Steifigkeit und konstantem Querschnitt benutzt. Das Rayleighsche Verfahren für benachbarte Systeme verwendet auch N. Mononobe [Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 449] zur Berechnung der Schwingungszahlen kegelförmiger Stäbe.Google Scholar
  107. 2.
    Als benachbartes System für einen einseitig freien und am anderen Ende eingespannten Stab kann z. B. auch der von G. Kirchhoff [Wied. Ann. Bd. 501 (1880) — Ges. Abh. Bd. 339 (Leipzig 1882)] behandelte und von P. F. Ward [Philos. Mag. (6) Bd. 25 (1913) S. 85] numerisch durchgerechnete Stab mit einem Querschnittsverlauf \( F = {F_0}{x^{m + n}} \) und einemVerlauf des Trägheitsradius K 2 =J/F (I ist das Trägheitsmoment) von \( {K^2} = K_0^2{x^{2n}} \) genommen werden. F 0 und K 0 sind der Querschnitt und der Trägheitsradius am eingespannten Ende. Ward gibt für m — 1, n = 0 (Stab von konstanter Höhe und linear abnehmender Breite) und für n = m = 1 (Pyramide auf quadratischer Basis oder konischer Rundstab) die ersten drei Eigentöne und z. T. auch die Eigenfunktionen an. Schwingungszahlen konischer Stäbe wurden weiter berechnet von A. Ono: J. Soc. Mech. Engs. Tokyo Bd. 28 (1925) S. 429; Bd. 27 (1924) S. 467.Google Scholar
  108. 2a.
    Webb, H. A., u. L. M. Swain: Advis. Comm. Aeron. Reps. Mem. (Mai) 1919 Nr. 626 (Propellerschwingungen).Google Scholar
  109. 2b.
    Wrinch, D.: Proc. Roy. Soc. London A Bd. 101 (1922) S. 493.CrossRefGoogle Scholar
  110. 1.
    Hohenemser, K.: Z. Flugtechn. Motorluftsch. Bd. 23 (1932) S. 37.Google Scholar
  111. 2.
    Hohenemser, K., u. W. Prager: Z. angew. Math. Mech. Bd. 11 (1931) S. 92.CrossRefGoogle Scholar
  112. *.
    Über die Transversalschwingungen umlaufender Seile siehe J. Ghosh: Bull. Calcutta Math. Soc. Bd. 14 (1923) S. 161.Google Scholar
  113. 1.
    Über die Integration der Differentialgleichung des transversal schwingenden und rotierenden Stabes vermittels eines Reihenansatzes vgl. H. v. Sanden: Z. techn. Physik Bd. 10 (1929) S. 443.Google Scholar
  114. 2.
    Diese Zusammensetzung wurde für die Berechnung der Schwingungszahlen von transversal schwingenden Propellern angewendet von F. Liebers: Z. techn. Physik Bd. 9 (1929) S. 361.Google Scholar
  115. 2a.
    Hohenemser, K.: Z. Flugtechn. Motor-luftsch. Bd. 23 (1932) S. 37 (bei Oberschwingungen).Google Scholar
  116. 2b.
    Southwell, R. V.: Advis. Comm. Aeronaut. Reps. Mem. 1918 (August) Nr. 486; 1921 (Oktober) Nr. 766.Google Scholar
  117. 1.
    Dunkerley, S.: Siehe a. a. O.Google Scholar
  118. 2.
    Hahn, E.: Schweiz. Bauzeitung Bd. 72 (1918) S. 191, 206.Google Scholar
  119. 2a.
    Vgl. auch F. H. van den Dungen: C. R. Acad. Sci., Paris Bd. 177 (1923) S. 243, 387.MATHGoogle Scholar
  120. 3.
    Vgl. M. Th. Got: C. R. Acad. Sci., Paris Bd. 193 (1931) S. 836.Google Scholar
  121. 4.
    Bemerkungen über die Integralgleichungen mit zwei Parametern, wie sie bei den Problemen der Stabschwingungen mit Axialkräften vorkommen, stehen bei F. H. van den Dungen: Verh. 2. intern. Kongreß techn. Mech., S. 113. Zürich 1926. Die Methode der sukzessiven Approximation wurde auf die Differentialgleichung der Transversalschwingungen eines axial belasteten Stabes angewendet von R. C. J. Howland: Philos. Mag. (7) Bd. 1 (1926) S. 674.MATHGoogle Scholar
  122. 1.
    Die Beziehung (62) wurde, allerdings ohne befriedigende Begründung, angewendet von K. Hinz [Z. techn. Physik Bd. 8 (1927) S. 370] zur Berechnung der Schwingungen von Spannbolzen bei großen Asynchronmotoren.Google Scholar
  123. 1.
    Diese Definition stammt von C. Chree: Philos. Mag. (6) Bd. 7 (1904) S. 504; Bd. 9 (1905) S. 132.Google Scholar
  124. 1.
    Diese Definition wurde gegeben von A. Föppl: Civil. Ing. Bd. 249 (1895) — siehe auch Technische Mechanik Bd. 4 (Leipzig 1914) S. 238.Google Scholar
  125. 2.
    An weiteren Arbeiten über die Berechnung kritischer Drehzahlen erster Art seien außer den auf S. 48 zitierten genannt: Carsten, H.: Z. techn. Physik Bd. 2 (1921) S. 183.Google Scholar
  126. 2a.
    Eck, B.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 72 (1928) S. 5.Google Scholar
  127. 1.
    Föppl, O.: Z. ges. Turbinenwesen Bd. 13 (1916) S. 6l, 75.Google Scholar
  128. 1a.
    Grammel, R.: Festschrift Stodola 70. Geburtstag, S. 180. Zürich 1929 (Einfluß der Wellentorsion auf die kritische Drehzahl)Google Scholar
  129. 1b.
    Grammel, R.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 64 (1920) S. 911; Bd. 73 (1929) S. 1114 (Einfluß der Kreiselwirkung)Google Scholar
  130. 1c.
    Grammel, R.: Der Kreisel, seine Theorie und Anwendungen, S. 213ff. Braunschweig 1920.Google Scholar
  131. 1d.
    Karas, K.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 84, 158.MATHCrossRefGoogle Scholar
  132. 1e.
    Karas, K.: H. D. I. Mitt. Bd. 17 (1928) S. 95, 119, 167Google Scholar
  133. 1f.
    Karas, K.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 72 (1928) S. 1648Google Scholar
  134. 1g.
    Karas, K.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929) S. 485 (Einfluß von Längsbelastung und Kreiselwirkung).MATHCrossRefGoogle Scholar
  135. 1h.
    Kneser, A.: Z.Math. Phys. Bd. 51 (1904) S. 64 (Bedingung für Scheinresonanz).Google Scholar
  136. 1i.
    Krause, M.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 58 (1914) S. 878.Google Scholar
  137. 1j.
    Leblanc, M. M.: Mém. Soc. Ing. Civils France Bd. 661, (1913) S. 171.Google Scholar
  138. 1k.
    Lees, L.: Philos. Mag. (6) Bd. 45 (1923) S. 689; Bd. 37 (1919) S. 515.MATHCrossRefGoogle Scholar
  139. 1l.
    Lorenz, H.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 63 (1919) S. 240, 888 (mit zahlreichen Literaturangaben).Google Scholar
  140. 1m.
    Pöschl, Th.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 3 (1923) S. 297 (zusammenfassendes Referat über das Problem der kritischen Drehzahl).MATHCrossRefGoogle Scholar
  141. 1n.
    Rodgers, C.: Philos. Mag. (6) Bd. 44 (1922) S. 122.Google Scholar
  142. 1o.
    Ryan, J. J.: J. Franklin Inst. Bd. 211 (1931) S. 151.Google Scholar
  143. 1.
    H. Reissner [Z.Bauwesen Bd. 49 (1899) S. 477; Bd. 53 (1903) S. 135] rechnete erstmaüg Eigenschwingungen von komplizierteren ebenen Stabwerken unter Berücksichtigung sowohl der longitudinalen wie auch der transversalen Bewegung, wobei einmal die Differentialgleichung der Schwingungen mit den entsprechenden Rand- und Übergangsbedingungen exakt integriert wurde, das andere Mal ein Ersatzsystem mit masselosen Stäben und in den Knotenpunkten konzentrierten Massen behandelt wurde. Es ergab sich, daß bei gelenkigen Stabverbindungen und bei den praktisch schon ohnedies in den Knoten stark konzentrierten Massen (zur Knotenmasse ist nicht nur die Masse der Stabverbindung, sondern bei einer Brücke vor allem auch der entsprechende Anteil der Fahrbahn-masse zu rechnen) das Ersatzsystem Schwingungszahlen hat, die von denen des wirklichen Systems nur wenig abweichen. Abschätzungen hierüber stellt auch E. Pohlhausen [Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 28] an. Sind allerdings die Stabverbindungen steif und sind die Massen im wesentlichen auf die Stäbe verteilt, wie bei den Fundamentrahmen der Großkraftmaschinen, dann kann andererseits die Längselastizität der Stäbe vernachlässigt werden, da die Schwingungszahlen dann in der Hauptsache von der Biegesteifigkeit der Stäbe abhängen. Vgl. die Arbeiten von W. Prager: Bauing. Bd. 8 (1927) S. 923Google Scholar
  144. 1a.
    W. Prager: Z. techn. Physik Bd. 9 (1928) S. 223; Bd. 10 (1929) S. 275.Google Scholar
  145. 1b.
    Ferner F. W. Waltking: Ing.-Arch. Bd. 2 (1931) S. 247. Das Rayleighsche Verfahren wurde für ebene Stabwerke angewendet von Th. Pöschl [Ebenda Bd. 1 (1930) S. 469] und von H. Kayser und A. Troche [Beton und Eisen Bd. 29 (1930) S. 15, 119].CrossRefGoogle Scholar
  146. 2.
    Bleich, F.: Theorie und Berechnung eiserner Brücken, § 5. Berlin 1924.Google Scholar
  147. 1.
    Für Kreisplatten ist die Methode der Integralgleichung angewendet worden von R. C. J. Howland [Philos. Mag. (7) Bd. 7 (1928) S. 5, 39], doch handelt es sich hier eigentlich um ein eindimensionales Problem, da eine Schwingungsform mit einer bestimmten Zahl von Knotendurchmessern angenommen wird.Google Scholar
  148. 1.
    Marcus, H.: Armierter Beton Bd. 12 (1919) S. 107, 129, 164, 181, 219, 245, 281.Google Scholar
  149. 2.
    Diese Beziehung wird von A. Stodola zur Berechnung der Schwingungen von Turbinenscheiben benutzt. Als Ansatz für die Auslenkung w wird \( w = f\left( r \right)\sin k\vartheta \) gewählt, also eine Schwingung mit k Knotendurchmessern. Für f(r) werden einige Funktionen eingesetzt und das Minimum von (67) bestimmt. Sehr gründliche rechnerische und experimentelle Untersuchungen von Turbinenscheibenschwin-gungen sind durchgeführt von W. Campbell: Trans. Amer. Soc. Mech. Engs. Bd. 46 (1924) S. 31. Über Vergleiche der Stodolaschen Berechnungsweise von Turbinenscheibenschwingungen mit Versuchen siehe auch J. v. Freudenreich: Engg. Bd. 119 (1925) S. 2, 31. Bei Erregung der Platten mit einer harmonischen Kraft von allmählich steigender Eigenfrequenz entstehen Schwingungen mit kontinuierlich, ineinander übergehenden Knotenlinien. W. Hort und M. König [Z. techn. Physik Bd. 9 (1928) S. 373] deuten Versuche von A. Elsas [Wied. Ann., N. F. Bd. 19 (1883) S. 474] an Kreisplatten, welche die mit der Frequenzveränderung wandernden Knotenlinien zeigten, als Abweichung von der Kirchhoffschen Theorie [Crelles J. Bd. 40 (1850) S. 51]. In Wirklichkeit handelt es sich bei den Versuchen von A. Elsas um erzwungene Schwingungen im Gegensatz zu den von Kirchhoff berechneten und von F. Strehlke [Pogg. Ann. Bd. 95 (1855) S. 577] in Übereinstimmung mit der Rechnung experimentell erzeugten freien Schwingungen der Kreisplatten. Die erzwungenen Schwingungen von Kreisplatten mit freiem Rand wurden von W. Flügge [Z. techn. Physik Bd. 13 (1932) S. 199] behandelt. Das Rayleighsche Verfahren wurde für Platten weiter angewendet von Prescott (Applied Electricity 1924 S. 338) und für Platten, die in Berührung mit Wasser stehen, von H. Lamb [Proc. Roy. Soc. London A Bd. 98 (1920) S. 205.Google Scholar
  150. 1.
    Ritz, W.: Ann. Physik (4) Bd. 28 (1909) S. 737. Auf die Schwingungen rechteckiger, rhombischer, dreieckiger und elliptischer Platten ist das Verfahren angewendet worden von E. Goldmann (Diss. Breslau 1918), auf die Schwingungen einer Membran von E. Reinstein [Ann. Physik (4) Bd. 35 (1911) S. 109].MATHCrossRefGoogle Scholar
  151. 2.
    Vgl. M. König: Diss. E. T. H. Zürich 1927.Google Scholar
  152. 2a.
    Hort, W., u. M. König: Z. techn. Physik Bd. 9 (1928) S. 373. Als Grundsystem wird die Kreisplatte konstanter Dicke genommen und mit Hilfe der Eigenfunktionen dieser Platte die Schwingungszahlen profilierter Kreisplatten berechnet.Google Scholar
  153. 1.
    K. Klotter: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 123.Google Scholar
  154. 2.
    Wie O. Heck, Darmstadt, in einem noch unveröffentlichten Aufsatz bemerkt hat, enthält die Klottersche Arbeit einen Irrtum. Bei der Berechnung der Grundschwingungszahl einer Platte, welche auf einem zur Mitte konzentrischen Kreis eine gleichförmige linienförmige Masse trägt, verwendet Klotter als Teilsystem eine masselose Trägerplatte, deren freier Rand mit dem massebelegten Kreis zusammenfällt, diese Platte hat aber eine geringere Steifigkeit als die wirkliche Platte, so daß die Voraussetzung gleicher Steifigkeiten der Teilsysteme nicht erfüllt ist.Google Scholar
  155. 3.
    Southwell, R. V.: Proc. Roy. Soc. London A Bd. 101 (1922) S. 133.CrossRefGoogle Scholar
  156. 3a.
    Lamb, H., u. R. V. Southwell: Ebenda Bd. 99 (1921) S. 272.Google Scholar

Copyright information

© Julius Springer in Berlin 1932

Authors and Affiliations

  • K. Hohenemser

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