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Allgemeine Methoden

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Die Methoden ƶur Angenäherten Lösung von Eigenwertproblemen in der Elastokinetik

Part of the book series: Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenƶgebiete ((MATHE1))

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Zusammenfassung

Alle Aufgaben der Elastizitätslehre, welche das Ziel haben, aus vorgegebenen äußeren Kräften, die auf einen Körper wirken, die Verschiebungen jedes Körperpunktes zu finden, lassen sich auf eine einfache Qudratur zurückführen, wenn die „Greensche Funktion“ oder Einflußfunktion für den betreffenden Körper bekannt ist. Die Existenz und die Eigenschaften der Greenschen Funktion für ein bestimmtes Problem werden meist aus der Differentialgleichung des betreffenden Elastikums bewiesen. Vom Standpunkt der Elastizitätslehre aus ist die Existenz einer Einflußfunktion für die Verschiebungen nichts anderes als der Ausdruck für die lineare Superponierbarkeit der Kraftwirkungen. Man hat im Bestehen einer Einflußfunktion ein Kriterium für den ideal elastischen Körper zu sehen, dessen ausgezeichnetste Eigenschaft darin enthalten ist. Hängen die äußeren Kräfte linear von den Verschiebungen ab, die ihre Angriffspunkte während der Deformation des Körpers erfahren, wie es für die Trägheitskräfte der freien harmonischen Schwingungen der Fall ist, dann entsteht eine lineare homogene Integralgleichung für die Verschiebung. An diese Integralgleichung knüpfen die zunächst zu besprechenden Methoden an, ohne daß über die Beschaffenheit der Einflußfunktion spezialisierende Annahmen nötig sind.

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Literature

  1. Die Bedeutung, welche die Integralgleichungsmethoden für die verschiedenartigsten Untersuchungen in der Mathematik gewonnen haben, hat sich zum Teil auch auf die Anwendungsgebiete, insbesondere die Schwingungslehre, übertragen, so daß die Integralgleichungsmethoden in einigen neueren Lehrbüchern über Schwingungen elastischer Körper sogar in den Vordergrund der Betrachtungen gestellt wurden. Vgl. die a. a. O. zitierten Lehrbücher von F. H. van den Dungen. Die Integralgleichungsmethoden liefern zwar Formeln zur Bestimmung der Eigenschwingungszahlen, welche für die numerische Auswertung wenig geeignet sind, doch lassen sich die verschiedensten Verfahren so übersichtlich darstellen, wenn man von der Integralgleichungsdarstellung der Schwingungen elastischer Körper ausgeht, daß auch in dem vorliegenden Artikel die Voranstellung der Integralgleichungsmethoden für zweckmäßig angesehen werden mußte.

    Google Scholar 

  2. Die Gleichung (3) stellt die Bedingung dafür dar, daß alle Teile des elastischen Körpers eine harmonische Bewegung mit der gleichen Phase und der gleichen Kreisfrequenz ausführen. Es ergibt sich, daß dies nur möglich ist für ganz gewisse Werte, die „Eigenwerte“ und die dazugehörigen „Eigenfunktionen“. Die Überlegungen, mit denen man zeigt, daß die allgemeinste Bewegung des Körpers sich als Superposition aller nach Gleichung (3) möglichen harmonischen Bewegungen auffassen läßt (Einführung der voneinander unabhängigen „Normalkoordinaten“), werden hier übergangen. Vgl. Lord Rayleigh: Theory of Sound, Kap. IV.

    Google Scholar 

  3. Die Einflußkoeffizienten α bis δ sind nicht unabhängig voneinander» sondern gehen durch Differentiationen auseinander hervor, vgl. z. B. F. H. van den Dungen: Cours de Technique des Vibrations Bd. 2 (1926) S. 10, doch ist diese Eigenschaft für die Zurückführung des Systems von Integralgleichungen auf eine einzige bedeutungslos.

    Google Scholar 

  4. Kneser, A.: Rend. Circ. mat. Palermo Bd. 37 (1914) S. 169.

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  5. Eine kurze Einführung in die Theorie der linearen Integralgleichungen findet sich bei R. Courant und D. Hilbert: Methoden der math. Physik Bd. 1, Kap. III; vgl. auch Die Differential- und Integralgleichungen der Mathematik und Physik, herausgegeben von R. v. Mises, Bd. 1 Kap. XII, und den Handbuchartikel von J. Lense: Handb. d. Physik Bd. 3 (Berlin 1928) S. 283. An Lehrbüchern seien weiter genannt: Kneser, A.: Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik. Braunschweig 1922.

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  9. Ausführliche Literaturangaben finden sich bei E. Hellinger u. O. Toeplitz: Enz. math. Wiss. II Bd. 32 (1928) S. 1335.

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  10. van den Dungen, F. H.: Verh. 3. intern. Kongreß techn. Mech. Bd. 3 (Stockholm 1931) S. 150.

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  11. Z.B.: R. Courant u. D. Hilbert: Meth. math, Phys. Bd. 1 (1931) S. 119.

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  12. Courant, H.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 2 (1922) S. 278.

    Article  MATH  Google Scholar 

  13. Siehe das Beispiel in 16a dieses Artikels.

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  14. Schur, I.: Math. Ann. Bd. 67 (1909) S. 306.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  15. Diese Beziehungen sind bei der Behandlung von Transversalschwingungen von Stäben benutzt worden von R. C. J. Howland: Philos. Mag. (7) Bd. 3 (1927) S. S13. Auf die Verwendbarkeit der Formeln für die Eigenwerte assoziierter Kerne weist hin F. H. van den Dungen: Z. angew. Math. Mech. Bd. 8 (1928) S. 225

    Google Scholar 

  16. R. C. J. Howland: C. R. Acad. Sci, Paris Bd. 184 (1927) S. 1413.

    Google Scholar 

  17. Auf diese Tatsache machte aufmerksam R. C. J. Howland, Philos. Mag. (7) Bd. 3 (1927) S. 513; vgl. auch das Beispiel in 16a dieses Artikels.

    MATH  Google Scholar 

  18. Eine Anwendung dieser Methode auf Transversalschwingungen von Stäben gab E. Schwerin: Z. techn. Physik Bd. 8 (1927) S. 264

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  19. E. Schwerin: Verh. 2. intern. Kongreß techn. Mech., S. 138. Zürich 1926.

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  20. Vgl. W. Prager: Bauingenieur Bd. 8 (1927) S. 923,

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  21. Schwarz, H. A.: Gesammelte mathematische Abhandlungen Bd. 1 (Berlin 1890) S. 241–265.

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  24. Mises, R. v.: Mh. Math. Phys. Bd. 22 (1911) S. 33.

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  25. Stodola, A.: Dampf- und Gasturbinen, S. 381. Berlin 1924.

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  26. Grammel, R.: Ergebn. der exakten Naturwissenschaften Bd. 1 (Berlin 1922) S. 93–119.

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  27. Koch, J. J.: Verh. 2. intern. Kongreß techn. Meck., S. 213. Zürich 1926.

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  28. van den Dungen, F. H.: C. R. Acad. Sci., Paris Bd. 176 (1923) S. 1864.

    MATH  Google Scholar 

  29. van den Dungen, F. H.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 8 (1928) S. 225

    Article  MATH  Google Scholar 

  30. van den Dungen, F. H.: C. R. Acad. Sci., Paris Bd. 184 (1927) S. 1413. Eine ganz ähnliche Beziehung gibt an G. Temple: Proc. London Math. Soc. Bd. 29 (1929) S. 257.

    MATH  Google Scholar 

  31. Mises, R. v., u. H. Pollaczek-Geiringer: Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929) S. 156.

    Google Scholar 

  32. Lord Rayleigh: Theory of Sound, Kap. 4.

    Google Scholar 

  33. Hohenemser, K., u. W. Prager: Ing.-Arch. Bd. 3 (1932) S. 306. Die Eigenschaften der Form (26) wurden eingehend untersucht von G. Temple: Proc. London Math. Soc. Bd. 29 (1929) S. 257.

    Article  Google Scholar 

  34. In (28) kann man den Zähler als maximale potentielle Energie, den Nenner als durch A dividierte maximale kinetische Energie der harmonischen Bewegung mit der maximalen Auslenkungsform Ψ 0 auffassen. In dieser Bedeutung wurde der Ausdruck (28) auch von Lord Rayleigh (Theory of Sound, Kap. 4) aufgefaßt und abgeleitet, ebenso in allen Arbeiten, welche das Rayleighsche Prinzip verwenden. — Vgl. besonders die Ableitung dieses Prinzips bei Th. Pöschl: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 469. Da in (29) Zähler und Nenner nicht mehr die maximale kinetische und maximale potentielle Energie der Auslenkungsform bedeuten, haben wir vorgezogen, sowohl (28) wie (29) von der Arbeitsgleichung ausgehend abzuleiten.

    Article  MATH  Google Scholar 

  35. Im allgemeinen empfiehlt sich, die Verwendung der Einflußfunktion nicht, wie schon früher bemerkt wurde; für praktische Rechnungen wird zweckmäßig an Stelle von (25) die Form (29) benutzt.

    Google Scholar 

  36. Lord Rayleigh: Theory of Sound, Kap. 4.

    Google Scholar 

  37. Ritz, W.: J. reine angew. Math. Bd. 135 (1909) S. 1.

    Google Scholar 

  38. Vgl. z. B. die Untersuchungen von M. N. Krilloff über die Konvergenz und FeMerabschätzung bei dem Ritzschen Verfahren [C. R. Acad. Sci., Paris Bd. 180 (1925) S. 1316; Bd. 181 (1925) S. 86; Bd. 183 (1926) S. 676]. Wenn die Form unter dem Integral nicht mehr positiv definit ist, versagen die Konvergenzbeweise, man verwendet dann zweckmäßig einen anderen Extremalausdruck, vgl. M. N. Kriloff: C. R. Acad. Sci., Paris Bd. 186 (1928) S. 298.

    Google Scholar 

  39. Vgl. ebenfalls die zusammenfassende Arbeit von M. N. Kriloff: Les méthodes de solution approchée des problèmes de la physique mathématique. Procédés de l’algorithme varitionnel (méthode de W. Ritz), des differences finies, etc., justifiés par l’appréciation de l’erreur commise à la mième approximation (Problèmes à une dimension). Mém. Sci. math. Fasc. 49 (Paris 1931) und die Arbeit von M. Krawtchouk: C. R. Acad. Sci, Paris Bd. 187 (1928) S. 411; Bd. 188 (1929) S. 978.

    MATH  Google Scholar 

  40. Vgl. das Referat über die Galerkinsche in russischer Sprache erschienene Arbeit bei H. Hencky: Z. angew. Math. Mech. Bd. 7 (1927) S. 80.

    MATH  Google Scholar 

  41. Bei der Verwendung des Ritzschen Verfahrens kann es erwünscht sein, eine Ableitung bestimmter Ordnung der Näherungsfunktion mit größerer Genauigkeit zu erhalten als andere Ableitungen oder als die Funktionswerte selbst. Man kann dann nach dem Vorgang von R. Courant (Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1922 S. 144) dem Extremalausdruck Glieder hinzufügen, welche für die Extremal-lösung verschwinden, aber in den nach Ritz zu bestimmenden benachbarten Funktionen gerade die gewünschten Ableitungen besonders fehlerfrei werden lassen. Das Verfahren von Ritz ist nicht nur für Schwingungen, sondern auch für andere Probleme der Elastizitätstheorie viel und mit Erfolg angewendet worden. Es seien nur genannt die Arbeiten von B. Biezeno: Verh. 1. intern. Kongreß techn. Mech., S. 3 Delft 1924.

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  42. Kàrmàn, Th. v.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 59 (1911) S. 173.

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  43. Lorenz, H.: Ebenda Bd. 57 (1913) S. 543.

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  44. Nádai, A.: Ebenda Bd. 59 (1915) S. 173.

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  45. Pöschl, Th.: Armierter Beton. 1912.

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  46. Timoshenko, S.: Z. Math. Phys. Bd. 58 (1910) S. 337.

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  47. Traenkle, A.: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 499.

    Article  MATH  Google Scholar 

  48. Trefftz, E.: Verh. 2. intern. Kongreß techn. Mech., S. 131. Zürich 1926.

    Google Scholar 

  49. Friedrichs, K.: Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 1929 S. 13.

    Google Scholar 

  50. Während bei dem Ritzschen Verfahren Approximationsfunktionen verwendet werden, welche den Randbedingungen genügen, dagegen nicht die Differentialgleichungen des Problems erfüllen, geht man bei dem Verfahren von Trefftz von einem System von Partikularlösungen der Differentialgleichung aus, welche die Randbedingungen nicht erfüllen. Nach K. Friedrichs (siehe a. a. O.) entspricht das der Verwendung eines dem ursprünglichen Variationsprinzip durch eine Legendretransformation zugeordneten Variationsprinzips. Die Tatsache, daß dadurch an Stelle eines Minimums ein Maximum tritt, ist an das Bestehen von gewissen starken Definitheitsbedingungen geknüpft, welche für Eigenwertprobleme gerade nicht mehr zutreffen. Die Verwendung eines Systems von Partikularlösungen der Differentialgleichung an Stelle des nach Ritz zu bildenden Ansatzes und die möglichst gute Anpassung der aus einer Summe von Partikularlösungen gebildeten Näherungsfunktion an die Randbedingungen ist auch von S. Bergmann in verschiedenen Arbeiten durchgeführt worden; vgl. Math. Ann. Bd. 86 (1922) S. 237; Bd. 98 (1927) S. 248 — Z. angew. Math. Mech. Bd. 8 (1928) S. 402; Bd. 11 (1931) S. 323.

    Google Scholar 

  51. Gümbel, L.: Jb. schiffbautechn. Ges. Bd. 2 (1901) S. 211

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  52. Gümbel, L.: Z. Ver. Deutsch. Ing. Bd. 63 (1919) S. 771, 802.

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  53. Southwell, R. V.: Philos. Mag. (6) Bd. 41 (1921) S. 419.

    Google Scholar 

  54. An Lehrbüchern über Differenzenrechnung seien genannt: Bleich, F., u. E. Melan: Die gewöhnlichen und partiellen Differenzengleichungen der Baustatik. Berlin 1927.

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  55. Funk, P.: Die linearen Differenzengleichungen. Berlin 1920.

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  56. Nörlund, E.: Vorlesungen über Differenzenrechnung. Berlin 1924.

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  57. Wallenberg, G., u. A. Guldberg: Theorie der linearen Differenzengleichungen. Leipzig 1911.

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  58. Walther, A.: Differenzenrechnung, in E. Pascal, Repertorium der höheren Mathematik I 3, Leipzig 1929.

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  59. Vgl. über die Auflösung von Systemen linearer Gleichungen durch Iteration z.B. R. v. Mises u. H. Pollaczek-Geiringer: Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929) S. 58.

    Article  MATH  Google Scholar 

  60. Auf die praktische Verwendbarkeit von partiellen Differenzengleichungen in der Technik wies hin H. Hencky: Z. angew. Math. Mech. Bd. 2 (1922) S. 58.

    Article  MATH  Google Scholar 

  61. Fehlerabschätzungen für die Methode der Differenzengleichungen gibt N. Kriloff: Acta math. Bd. 52 (1928) S. 134. Ergebnisse der Mathematik. I. Hohenemser. 3

    Google Scholar 

  62. Vgl. außer den in 6 zitierten Arbeiten auch E. Cotton: Approximations successives et équations differentielles. Mém. Sci. math. Fasc. 28 (Paris 1928).

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  63. Cowley, W. L., u. H. Levy: Philos. Mag. (6) Bd. 41 (1921) S. 584.

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  64. Morrow, J.: Philos. Mag. (6) Bd. 10 (1905) S. 113; Bd. 11 (1906) S. 354; Bd. 12 (1906) S. 233.

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  65. Lord Rayleigh: Theory of Sound, Kap. 4.

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  68. Meyer zur Capellen, W.: Ann. Physik (5) Bd. 8 (1931) S. 297.

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  69. Schrödinger, E.: Ebenda (4) Bd. 80 (1926) S. 440.

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  70. Schunck, T. E.: Ing.-Arch. Bd. 2 (1931) S. 591.

    Article  Google Scholar 

  71. Siehe a. a. O.

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  72. In den meisten Fällen, in denen eine Trennung in reine Elastizitäten und in reine Massen vorgenommen worden ist, entsprach es allerdings mehr dem Bedürfnis des Ingenieurs nach Anschaulichkeit der Berechnungsmethode; vgl. z. B. H. Hencky: Der Eisenbau Bd. 11 (1920) S. 437, wo Stabilitätsprobleme von Stabwerken unter Zugrundelegung einer „elastischen Gelenkkette“behandelt werden, oder J. J. Koch: Eenige Toepassingen von de Leer der Eigenfuncties op vrag-stukken uit de toegepasste Mechanica. Proefschrift. Delft 1929.

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  73. Die Methode wurde für Saitenschwingungen vorgeschlagen von O. Föppl: Z. angew. Math. Mech. Bd. 7 (1927) S. 437, die Verallgemeinerung auf Trans-versalschwingungen von Stäben und den Zusammenhang mit der Maximum-Minimum-Eigenschaft der Obertöne gab

    Article  MATH  Google Scholar 

  74. K. Hohenemser: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 271.

    Article  MATH  Google Scholar 

  75. Zusammensetzungen dieser Art wurden betrachtet von G. Temple: Proc. London Math. Soc. Bd.29 (1929) S. 257. Die analoge Methode bei Stabilitätsproblemen besteht in der Zusammensetzung der kritischen Lasten von verschiedenen Lastgruppen, wie sie etwa bei der Berechnung der Knicksicherheit eines Stabes zweckmäßig sein kann, der durch axiale Endkräfte und durch eine gleichmäßig über die Länge verteilte axiale Last beansprucht wird. Die Zusammensetzung von schwingenden Systemen mit gleicher Steifigkeit und verschiedener Massenbelegung wurde weiter untersucht von K. Klotter: Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 132, 491

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  76. G. Temple: Verh. 3. intern. Kongreß techn.Mech. Bd. 3 (Stockholm 1931) S. 154.

    Google Scholar 

  77. Hohenemser, K.: Ing.-Arch. Bd. 3 (1932) S. 89.

    Article  Google Scholar 

  78. Zusammensetzungen dieser Art betrachtet H. Lamb u. R. V. Southwells Proc. Roy. Soc. London A Bd. 99 (1921) S. 272.

    Article  Google Scholar 

  79. Courant, R.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 2 (1922) S. 28l.

    Article  Google Scholar 

  80. Z.B.: F. H. van den Dungen: Cours de Technique des Vibrations Bd. 2 S. 55.

    Google Scholar 

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  1. K. Hohenemser
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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Hohenemser, K. (1932). Allgemeine Methoden. In: Die Methoden ƶur Angenäherten Lösung von Eigenwertproblemen in der Elastokinetik. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenƶgebiete. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-94169-6_2

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