Differentielle Bewegungsvorgänge

Zusammenfassung

Für die Lösung der inversen Kinematik ist auch eine differentielle Vorgehensweise möglich. Dazu wird zunächst eine Vektorfunktion y in 6 Variablen betrachtet

$$ {y_1} = {f_1}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}) $$

((12.1))

$$ {y_2} = {f_2}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}) $$

((12.2))

$$ {y_3} = {f_3}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}) $$

((12.3))

$$ {y_4} = {f_4}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}) $$

((12.4))

$$ {y_5} = {f_5}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}) $$

((12.5))

$$ {y_6} = {f_6}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6}) $$

((12.6))

Diese Gleichungen können als

$$ y = F({\text{x}}) $$

((12.7))

geschrieben werden. Das Differential dy kann berechnet werden als

$$ y = F({\text{x}}) $$

((12.8))

also als

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {d{y_1} = \frac{{\delta {f_1}}} {{\delta {x_1}}}d{x_1} + \frac{{\delta {f_1}}} {{\delta {x_2}}}d{x_2} + ... + \frac{{\delta {f_1}}} {{\delta {x_6}}}d{x_6}} \\ \vdots \\ {d{y_6} = \frac{{\delta {f_6}}} {{\delta {x_1}}}d{x_1} + \frac{{\delta {f_6}}} {{\delta {x_2}}}d{x_1} + ... + \frac{{\delta {f_6}}} {{\delta {x_6}}}d{x_1}} \\ \end{array} $$

((12.9))

Damit ergibt sich $\frac{{\delta F}}{{\delta {\text{x}}}}$ zu:

$$ \frac{{\delta F}} {{\delta {\text{x}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\delta {f_1}}} {{\delta {x_1}}}} & {...} & {\frac{{\delta {f_1}}} {{\delta {x_6}}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {\frac{{\delta {f_6}}}{{\delta {x_1}}}} & \cdots & {\frac{{\delta {f_6}}}{{\delta {x_6}}}} \\ \end{array} } \right) $$

((12.10))

Die entstehende (6,6) Matrix heißt Jacoby-Matrix J. Sind die Funktionen f _i in x nichtlinear, so ist J eine Funktion von x. Deshalb gilt allgemein:

$$ dy = J(x)\;dx $$

((12.11))