Spezialfälle und Anwendungen des Brunn-Minkowskischen Satzes und der Minkowskischen Ungleichungen

Zusammenfassung

Als unmittelbare Folge des Brunn-Minkowskischen Satzes ergibt sich, daß bei Zentralsymmettisierung (42, S. 73) eines konvexen Körpers sein Volumen nicht verkleinert und stets dann vergrößert wird, wenn er innere Punkte und keinen Mittelpunkt hat. Ist nämlich A der Körper und A* sein Spiegelbild bezüglich des Nullpunktes, so ist der zentralsymmetrisierte $\frac{1}{2}$(A + A*), also wegen V(A) = V(A*) in der Tat die Behauptung richtig. Es kann nur dann V($\frac{1}{2}$(A+A*)) = V(A) sein, wenn V(A) = 0 ist (dann liegen A und A* in parallelen Ebenen) oder wenn A und A* homothetisch sind, was in diesem Fall bedeutet, daß A einen Mittelpunkt hat.