Ungleichungen, Extremum- und Deckelprobleme

Zusammenfassung

In § 7 ist eine Reihe von Größen definiert worden, die mit einem konvexen Körper verknüpft sind, so z. B. das Volumen V (in der Ebene: Flächeninhalt F), die Oberfläche S (in der Ebene: Länge L), allgemein die Quermaß- oder, wie nach 38 auch gesagt werden kann, die Krümmungsintegrale W _v , von denen die mittlere Breite $\bar B = \frac{2}{{{x_n}}}{W_{n - 1}}$ besonders erwähnt sei. $\bar B$ ist im zweidimensionalen Fall L/π nach 39 (3), S. 65 und im dreidimensionalen M/2π nach 39 (9), S. 66, wo M wie bisher das Integral der mittleren Krümmung bedeutet. Ferner seien genannt: Durchmesser D, Dicke Δ, Umkugelradius R, Inkugelradius r und die Radien Р und ϱ der Minimalkugelschale. Schließlich kann man auch noch bei Körpern mit stetig gekrümmtem Rand die Extremwerte von Krümmungsgrößen dazu zählen. Es erhebt sich nun die Frage, welche Relationen zwischen diesen Größen bestehen, genauer, wie die genannten Größen vorgeschrieben werden müssen, damit dazu ein konvexer Körper gehört. In dieser Allgemeinheit dürfte das Problem hoffnungslos kompliziert sein. Man beschränkt sich daher auf Fragestellungen der folgenden Art: Es seien einige der Größen in passender Weise vorgegeben¹. Gefragt wird dann, wie durch eine solche Vorgabe eine weitere Größe oder eine, passende Funktion anderer Größen eingeschränkt wird, welches also insbesondere Maximum oder Minimum dieser Größe oder Funktion ist. Weiter erhebt sich dann die Frage nach den konvexen Körpern, für die die Extrema erreicht werden.