Die Bewegung einer freien Partikel

Zusammenfassung

Um die Bewegungsgleichungen eines freien Probekörpers im Substrat der Metrik (22) zu erhalten, haben wir die zu Anfang des vorigen Abschnitts abgeleiteten speziellen Werte der $\Gamma _{{\nu \varrho }}^{\mu }$ in die Gleichung (13) der geodätischen Linien einzusetzen. Ist α ein beliebiger an die Stelle der Bogenlänge s tretender Parameter, so erhalten die Gleichungen (13) der Geodätischen einen Zusatzterm, so daß sie lauten

$$ \frac{{{{d}^{2}}{{x}^{\mu }}}}{{d{{\alpha }^{2}}}} + \Gamma _{{\nu \varrho }}^{\mu }\frac{{d{{x}^{\nu }}}}{{d\alpha }}\frac{{d{{x}^{2}}}}{{d\alpha }} = \frac{{d{{x}^{\mu }}}}{{d\alpha }}.\frac{{{{d}^{2}}s}}{{d{{\alpha }^{2}}}}\left| {\frac{{ds}}{{d\alpha }}} \right.,{\mkern 1mu} \;\left( {\mu ,\nu ,\varrho = 1{\text{ bis 4}}} \right) $$

((34))

wobei gleichzeitig

$$ {{\left( {\frac{{ds}}{{d\alpha }}} \right)}^{2}} = {{{\text{g}}}_{{\mu \nu }}}\frac{{d{{x}^{\mu }}}}{{d\alpha }}\frac{{d{{x}^{\nu }}}}{{d\alpha }}\quad {\mkern 1mu} \left( {\mu ,\nu = {\text{ 1 bis 4}}} \right) $$

ist.