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Schwingungslehre

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Nichtlineare Mechanik

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Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit gewissen Bewegungsformen mechanischer Verbände mit einem Freiheitsgrad befassen, die wir später als Schwingungsbewegungen bezeichnen werden. Hierbei werden wir speziell solche Bewegungsprobleme untersuchen, die auf nichtlineare Differentialgleichungen führen.

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Literatur

  1. Mit A. Föppl (vgl. Vorlesungen über technische Mechanik. VI. Bd., 6. Aufl., S. 72. München u. Berlin 1944) geben wir der Bezeichnung „Verband“ den Vorzug vor der sonst meistens benützten Bezeichnung „System“, um Verwechslungen mit Begriffen wie „Koordinatensystem“ oder „Gleichungssystem“ auszuschließen

    Google Scholar 

  2. Auf die nichtholonomen Fälle, bei denen zu den Bindungen der obigen Art auch noch solche treten, die sich mathematisch nur durch Beziehungen zwischen den infinitesimalen Änderungen der x i , y i , z i und der q 1, q 2, ..., q n darstellen lassen, wird hier nicht eingegangen. Ein Beispiel dieser Art findet sich etwa bei G. Hamel: Elementare Mechanik, S. 490. Leipzig u. Berlin 1912

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  3. Vgl. hierzu die Aufstellung bei E. T. Whittakee: Analytische Dynamik der Punkte und starren Körper, § 23. Berlin 1924

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  6. Das ziemlich umfangreiche Beweisverfahren, das im wesentlichen von Poincaré stammt, kann hier nicht wiedergegeben werden. Es sei verwiesen auf H. Poincaré, Sur les courbes définies par une équation différentielle. Oeuvres. Vol. I, Paris 1892

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  7. sowie auf die neueren Darstellungen bei I. Horn, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 5. Aufl., Berlin 1948, 9. Kapitel

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  8. bei L. Bieberbach, Theorie der Differentialgleichungen, Berlin 1923, S. 66.

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  9. Eine Untersuchung über das Verhalten der Lösungskurven unter schwächeren Voraussetzungen bezüglich der Eigenschaften von B(q, v) findet sich bei O. Perron, Math. Zeitschr. 15 (1922), S. 121

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  10. Eine Untersuchung über das Verhalten der Lösungskurven unter schwächeren Voraussetzungen bezüglich der Eigenschaften von B(q, v) findet sich bei O. Perron, Math. Zeitschr. Bd. 16 (1923), S. 273. — In sämtlichen Darstellungen wird eine allgemeinere, den vorliegenden Spezialfall umfassende Differentialgleichung behandelt, die sich mit den Konstanten k, l, m und n in der Form [kx + ly + f(x, y)]dy = [mx + ny + φ(x, y)]dx oder in einer entsprechenden Parameterdarstellung schreiben läßt.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  11. Poincaré H.: Sur les courbes définies par une équation différentielle. Oeuvres. Vol. I. Paris 1892

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  13. Siehe z. B. Jahnke-Emde: Tafeln höherer Funktionen. 4. Aufl., S. 21. Leipzig 1948

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  14. Klotter, K.: Technische Schwingungslehre. I. Bd., 2. Aufl., S. 152. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1951

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  15. Klotter K.: Fußn. 1, S. 120. S. 151 u. 210

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  16. Dargestellt in der Schreibweise von A. M. Legendres Tafeln der Elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung, hrsg. von Fritz Emde. Stuttgart 1931

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  17. Ähnliche Vorgänge sind behandelt bei R. Grammel: Scherprobleme. Ing.-Arch. Bd. 17 (1949) S. 107

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  18. Vgl. z. B. P. F. Byrd u. M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists, S. 175. Formel 290.00. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1954

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  19. Vgl. F. Schwank: Randwertprobleme, S. 291. Leipzig 1951

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  20. In der Schreibweise von Jahnke-Emde: Tafeln höherer Funktionen, 4. Aufl., S. 271. Leipzig 1948

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  21. Ehemann, H.: Z. angew. Math. Mech. Bd. 32 (1952) S. 307

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  22. Liénard, A.: Étude des oscillations entretenues. Rev. Gén. Électr. 1928

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  23. Zur Definition dieses Begriffes sei auf die Einleitung zu Ziff. 50, S. 277, verwiesen

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  24. Schäfer M.: Eine graphische Richtungsfeldkonstruktion für den Phasenplan nichtlinearer freier Schwingungen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 32 (1952) S. 284. Schäfer entwickelt dort auch ein — natürlich etwas komplizierteres — Verfahren für den Fall, daß die Dämpfungsfunktion ein Produkt aus einer Funktion der Geschwindigkeit und einer Funktion des Ortes ist

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  25. Eine ausführliche Darstellung gibt K. Klotter: Free Oscillations of Systems Having Quadratic Damping and Arbitrary Restoring Forces. J. Appl. Mech. Bd. 22 (1955) S. 493

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  26. Vgl. R. v. Mises: Elemente der Technischen Hydrodynamik. 1. Teil, S. 188. Leipzig u. Berlin 1914

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  27. Pöschl, Th.: Zur Frage der Schwingungen nach dem quadratischen Widerstandskraftgesetz. Phys. Z. Bd. 29 (1928) S. 938

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  28. Kryloff, N., u. N. Bogoljuboff: Introduction to non-linear mechanics. Annals of Mathematics Studies 11. Princeton 1947. Dort finden sich auch zahlreiche weitere Literaturangaben. — Das Verfahren ist weitgehend verallgemeinert und in Verbindung mit Stabilitätsuntersuchungen zur Anwendung auf Schwin-gungs- und Regelungsprobleme methodisch ausgearbeitet worden von K. Magnus: Über ein Verfahren zur Untersuchung nichtlinearer Schwingungs- und Regelungs-Systeme. VDI-Forsch.-Heft 451. Düsseldorf 1955

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  29. Ein Verfahren, welches dasselbe Ziel verfolgt wie das hier dargestellte, stammt von K. Klotteb: The Attenuation of Damped Free Vibrations and the Derivation of the Damping Law From Recorded Data. Second U. S. Nat. Congr. f. Appl. Mech. Ann Arbor 1954. S. 85.

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  30. J. P. den Hartog, u. G. Mesmer: Mechanische Schwingungen, 2. Aufl. S. 315 ff. Berlin/Göttingen/Heidelberg. 1952.

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  31. Vgl. hierzu den Bericht von Th. Pöschl im Handbuch der Physik (hrsgeg. von H. Geiger und K. Scheel) Band V, S. 486 Berlin 1927, mit Literaturangaben, sowie die Darstellung bei A. Föppl: Vorlesungen über Technische Mechanik, 3. Aufl., 1. Bd. S. 225, München/Berlin 1943.

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  32. Nach Versuchen von O. Flachsbart: Messungen an ebenen und gewölbten Platten. (Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, hrsg. von L. Pkandtl u. A. Betz, IV. Lieferung.), S. 96. München u. Berlin 1932.

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  33. Eine kurzgefaßte Darstellung des Flattervorganges findet sich bei J. P. den Hartog, Mechanische Schwingungen, übs. von G. Mesmer, 2. Auf]., S. 351 ff. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1952. Dort ist auch weitere Literatur angegeben.

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  34. Poincaeé, H.: Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, vol. I, chap. III. IV, Paris 1892.

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  35. Lindstedt, A.: Differentialgleichungen der Störungstheorie. Mémoires de l’Acad. Imp. des Sciences de St. Pétersbourg, vol. XXXI, No. 4. 1883.

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  36. Lord Rayleigh: The Theory of Sound. Vol. I. 2nd ed. S. 81. London 1894.

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  37. Flanders, D. A., u. J. J. Stoker: The Limit Case of Relaxation Oscillations in: Studies on Non-Linear Vibration Theory, Inst. for Math. and Mech. New York Univ., 1946

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  38. der Beweis findet sich auch bei J. J. Stoker, Nonlinear Vibrations, New York 1950, S. 247. ff.

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  39. Dorodnitsyn, A. A., Inst. f. Mechanik, Akad. d. Wiss. d. UdSSR, Bd. 11 (1947).

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  40. Anwendungsbeispiele finden sich z. B. bei B. van der Pol: Über Relaxationsschwingungen, Z. Hochfrequenztechnik Bd. 28 (1926) S. 178;

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  41. Anwendungsbeispiele finden sich z. B. bei B. van der Pol: Über Relaxationsschwingungen, Z. Hochfrequenztechnik Bd. 29 (1927) S. 114.

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  42. Vgl. auch J. P. den Hartog: Mechanische Schwingungen (übs. v. G. Mesmer), 2. Aufl., S. 399. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1952

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  43. Eine ausführliche Darstellung gibt das Werk von I. Flügge-Lotz, Discontinous Automatic Control. Princeton 1953.

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  44. Eine in diesem Sinne vereinfachte Theorie der Uhr findet sich bei A. A. Andronow u. G. E. Chaikin: Theory of Oscillations. Princeton 1949, S. 118 ff.

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  45. Wir schließen uns hier einem allgemein üblichen, aber nicht ganz einwandfreien Sprachgebrauch an. Während man unter einer „harmonischen“ Schwingung eine solche zu verstehen pflegt, die sich durch eine einfache Sinus» oder Cosinus-Funktion darstellen läßt, braucht dies hier für eine ,,zu F(q, v, t) harmonische“ Schwingung nicht zuzutreffen.

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  46. Dotting, G.: Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung. Braunschweig 1918.

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  47. An mechanischen Modellen wurden Versuche durchgeführt u. a. von G. Duffing, a. a. O., von C. A. Ludeke, Experimental Investigation of Forced Oscillations in Systems Having Non-linear Restoring Force, Journ. Appl. Phys. 17 (1946), S. 603, sowie von E. A. Appleton, On the Anomalous Behavior of a Galvanometer, Philos. Mag. 47 (1924).

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  48. Zu den gleichen Ergebnissen gelangt K. Klotter in zwei Arbeiten: Steady State Vibrations in Systems Having Arbitrary Restoring and Arbitrary Damping Forces. Proceedings of the Symposium on Nonlinear Circuit Analysis, Polytechnic Institute of Brooklyn. 1953. S. 234.

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  49. Non-linear Vibration Problems treated by the Averaging Method of F. Ritz. Proceedings of the First National Congress of Applied Mechanics. S. 125.

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  50. Bei K. Klotter a. a. O. sind noch weitere Beispiele behandelt, besonders auch für Kennlinien, die sich aus Geradenstücken zusammensetzen. Diagramme für Schwinger mit derartigen Kennlinien, und zwar auf Grund exakter Berechnungen, welche in diesem Fall noch möglich sind, finden sich auch bei J. P. den Hartog und R. M. Heiles, Forced Vibrations in Nonlinear Systems With Various Combinations of Linear Springs, Journ. Appl. Mech. 1936, S. A-127.

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  51. Man vergleiche hierzu J. P. den Hartog, Mechanische Schwingungen. 2. Aufl., übs. von G. Mesmer, Berlin/Göttingen/Heidelberg. 1952. S. 390, sowie das auf S. 427 jenes Werkes angegebene Schrifttum.

    MATH  Google Scholar 

  52. Diese und weitere, zu unsymmetrischen Kennlinien gehörende Diagramme finden sieh wieder bei K. Klotter, Fußn. 1., S. 450

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  53. Vgl. z. B. O. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung. Leipzig 1949, S. 39.

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  54. N. W. Mc Lachlan; Ordinary Non-linear Differential Equations in Engineering and Physical Sciences. Oxford 1956, S. 66 ff.

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  55. M. Rauscher; Steady Oscillations of Systems With Nonlinear and Unsymmetrical Elasticity. Journ. Appl. Mech. 1938. S. A-169.

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  56. Vgl. etwa W. Magnus u. F. Oberhettinger: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen Physik. S. 78. Berlin 1943.

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  57. Klottee, K., u. E. Pinney: A Comprehensive Stability Criterion for Forced Vibrations in Nonlinear Systems. J. Appl. Mech. 1953, S. 9. — Dort wird von einer Variante des Näherungsverfahrens, das hier dargestellt werden soll, ausgegangen.

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  58. T. K. Caughey: The Existence and Stability of Ultraharmonics and Sub harmonies in Forced Nonlinear Oscillations. S. 327. J. Appl. Mech. 21 (1954). Ein weiteres Beispiel, das jedoch auf eine etwas andere Art behandelt wird, findet sich bei G. E. H. Reuter, Subharmonics in a Non-Linear System with Unsymmetrical Restoring Force. S. 198. Quat. J. of Mech. and Appl. Math. 2 (1949)

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  59. Vgl. etwa E. T. Whittaker u. G. N. Watson: A Course of Modern Analysis. 4th ed., Cambridge 1927. Kap. XIX.

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  60. M. J. O. Strutt: Lamésche, Mathieusche und verwandte Funktionen in Physik und Technik. Berlin. 1932.

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  62. J. Meixner u. F. W. Schäfke: Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1954.

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  63. Eine ähnliche Zusammenfassung findet sich bei K. Klotter.: Technische Schwingungslehre. I. Bd., 2. Aufl. S. 365. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1951.

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  64. Kotowski, G.: Lösungen der inhomogenen Mathieuschen Differentialgleichung mit periodischer Störfunktion beliebiger Frequenz (mit besonderer Berücksichtigung der Resonanzlösungen). Zeitschr. angew. Math. u. Mech. 23 (1943), S. 213.

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  65. Andronow, A., u. A. Witt: Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol, Arch. f. Elektrot. Bd. 24 (1930).

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  67. Alle wesentlichen Ergebnisse sind auch dargestellt bei J. J. Stoker, Nonlinear Vibrations. New York. 1950. S. 147–187.

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  68. van der Pol, B.: A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations. Radio Review Bd. 1 (1920) S. 701, 754.

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  69. Vgl. etwa J. J. Stoker: Fußn. 1, S. 517, S. 171.

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  70. v. Helmholtz, H.: Die Lehre von den Tonempfindungen. 6. Aufl. S. 646. Braunschweig 1913.

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  71. Man vergleiche hiermit auch das Vorgehen in einem ähnlichen Fall bei F. Weidenhammer: Nichtlineare Biegeschwingungen des axial-pulsierend belasteten Stabes. Ing. Arch. Bd. 20 (1952) S. 315.

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  72. Man vergleiche hierzu auch die Bemerkungen zu den Meldeschen Versuchen bei E. Mettler: Nichtlineare Schwingungen und kinetische Instabilität bei Saiten und Stäben. Ing.-Arch. Bd. 23 (1955) S. 357.

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  73. Hierzu sei etwa auf die folgende Darstellung verwiesen: E. Kamke: Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen. Bd. I. Leipzig 1942. S. 42ff. — Die Diskussion von Ziff. 33 ist ein spezieller Fall des hier anzuwendenden Verfahrens

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  74. Eine ausführliche Darstellung des Problems für ε > 0 gibt (mit anderen Bezeichnungen) F. Weidenhammer: Das Stabilitätsverhalten der nichtlinearen Biegeschwingungen des axial pulsierend belasteten Stabes. Ing. Arch. Bd. 24 (1956) S. 53.

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  75. Der Fall γ = 2 x wurde schon früher eingehend untersucht von N. Minorsky: Parametric Excitation. J. Appl. Phys. Bd. 22 (1951) S. 49

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  76. Vgl. z.B.: G. Loria: Spezielle algebraische und transzendente Kurven. 2. Aufl. I. Bd. Leipzig und Berlin 1910. S. 124. 208.

    MATH  Google Scholar 

  77. Sie sind im wesentlichen der Arbeit von F. Weidenhammer, a. a. O., S. 62 entnommen.

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  78. Wiederum nach F. Weidenhammer: Fußn. 2, S. 545, S. 64.

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  79. Grammel, R.: Scherprobleme, Ing.-Arch. Bd. 17 (1949) S. 107

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  80. In der in Ziff. 75 zitierten Arbeit [Ing.-Arch. Bd. 24 (1956) S. 53]. Man vergleiche hierzu auch die Arbeiten von E. Mettler: Mchtlineare Schwingungen und kinetische Instabilität bei Saiten und Stäben, Ing.-Arch. Bd. 23 (1955) S. 354, sowie: Zum Problem der nicht-linearen Schwingungen elastischer Körper, Publ. sci. techn. Min. Air Paris Bd. 281 (1953) S. 77. — Dort findet man auch eine Zusammenstellung des bis 1951 erschienenen Schrifttums

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  81. Man vergleiche hierzu etwa die ausführliche Darstellung bei C. B. Biezeno und R. Grammel: Technische Dynamik, II. Bd., S. 295. 2. Aufl. Berlin/Göttingen/ Heidelberg 1953

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  82. Weidenhammer, F.: Rheolineare Drehschwingungen in Kolbenmotoren. Ing.-Arch. Bd. 23 (1955) S. 262

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  83. Minorsky, N.: Stationary Solutions of Certain Nonlinear Differential Equations. J. Franklin Inst. Bd. 254 (1952) S. 21

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  84. Die Gleichungen (2) und (3) finden sich bei Y. Rocard: Dynamique générale des vibrations. 2. Aufl. Paris 1949, S. 315

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  85. Meissner, E.: Über Schüttelerscheinungen in Systemen mit periodisch veränderlicher Elastizität. Schweiz. Bauztg. Bd. 72 (1918) S. 95.

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  86. Eine Darstellung findet sich u. a. bei S. Timoshenko: Vibration Problems in Engineering. 2. Aufl. London 1937, S. 160

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  87. Emde, F.: Tafeln elementarer Funktionen. 2. Aufl. Leipzig 1948, S. 126

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  88. Das Hauptschwingungsproblem bei nichtlinearen Systemen wurde formuliert von Th. Pöschl: Über Hauptschwingungen mit endlichen Schwingweiten. Ing.-Arch. Bd. 20 (1952), S. 189. Das dort entwickelte Verfahren enthält jedoch Unstimmigkeiten ; man vergleiche hierzu die Berichtigung, Ing.-Arch. (1954) Bd. 22, S. 294

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  89. Man vergleiche hierzu die allgemeinen Untersuchungen bei Ph. Frane: und R. v. Mises: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. Zweiter/physikalischer/Teil. 2. Aufl. Braunschweig 1935. I. Abschn., 2. Kap. § 3

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  90. „Haltepunkte“ im Sinn von Painlevé (Ph. Frank u. R. v. Mises, a.a.O., S. 69).

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  91. Z. B. dargestellt im Handbuch der Physik, hrsgeg. von H. Geigek u. K. Scheel: Bd. V. Berlin 1927. S. 86

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  93. E. Pinney: Non linear differential equation systems. Tech. Rep. No. 25, Division of Eng. Mech., Stanford Univ. 1953.

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  97. Weitere derartige Diagramme für andere Ausgangsdaten finden sich in größerer Zahl bei F. R. Arnold, a.a.O.

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  98. Man vergleiche hierzu: K. Klotter: Analysis of a Nonlinear Dynamic Vibration Absorber. J. Appl. Mech. 21 (1954), S. 299.

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  99. Eine Reihe weiterer derartiger Resonanzdiagramme findet sich bei F. R. Arnold: Steady-State Behavior of Systems Provided With Nonlinear Dynamic Vibration Absorbers. J. Appl. Mech. Bd. 22 (1955), S. 487

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  102. Duffing, G.: (s. Fußn. 1, S. 437)

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  104. Die Formulierung für elastische Körper findet man bei C. B. Biezeno und R. Grammel: Technische Dynamik. 2. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg. 1953. I. Bd., S. 85

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  105. Dargestellt in der Schreibweise von A. M. Legendres Tafeln der Elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung, hrsg. von F. Emde, Stuttgart 1931.

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  106. Das Verfahren stimmt im wesentlichen mit der Methode der Störungsrechnung überein, die R. Grammel in der in Ziff. 85 zitierten Arbeit benützt.

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  108. In dieser Form finden sich die Gleichungen bei G. Kirchhoff. Man vergleiche z. B. G. Kirchhoff: Vorlesungen über Mechanik. 4. Aufl. Leipzig 1897. S. 440. Gl. (16)

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  109. Kirchhoff, G.: Fußn. 1, S. 657, S. 444.

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  119. E. Mettler u. F. Weidenhammer: Der axial-pulsierend belastete Stab mit Endmasse. Z. angew. Math. Mech. Bd. 36 (1956) S. 284. — Insbesondere sei auch hingewiesen auf eine Richtigstellung auf S. 287 (Fußn. 4) der zuletzt genannten Arbeit, die sich auf die drei vorhergehenden Arbeiten bezieht

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  120. Z. angew. Math. Mech. Bd. 36 (1956), S. 284

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  1. Technischen Hochschule, Hannover, Deutschland

    Dr. Hans Kauderer (Ord. Professor)

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  1. Dr. Hans Kauderer
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Kauderer, H. (1958). Schwingungslehre. In: Nichtlineare Mechanik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-92733-1_2

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