Die reellen Zahlen

Zusammenfassung

Die einzelnen Etappen beim Aufbau des Zahlensystems, die wir bisher durchlaufen haben, sind durch das Ziel bestimmt gewesen, einen Zahlbereich zu erhalten, in dem beide Verknüpfungen umkehrbar sind, in dem man also unbeschränkt addieren, subtrahieren, multiplizieren und — bis auf die nicht zulässige Division durch 0 — auch stets dividieren kann. Dieses Ziel haben wir mit dem Bereich ȣ der rationalen Zahlen erreicht. Warum setzt man den Aufbau jetzt noch weiter fort? Nun, dazu ist zu sagen: Wir brauchen die Zahlen nicht nur zum Rechnen; sie dienen ebenso zum Messen und müssen daher auch für diesen Zweck bestimmten Anforderungen genügen. Man wird z. B. mindestens fordern, daß die Länge jeder Strecke durch eine Zahl ausgedrückt werden kann. Das ist aber, wenn man sich auf den rationalen Zahlbereich beschränkt, nicht immer möglich. Beispielsweise hat die Diagonale eines Quadrats von der Seitenlänge 1 eine Länge, die nicht durch eine rationale Zahl wiedergegeben werden kann. Denn $\sqrt 2$ ist nicht rational [vgl. VIII, Nr. 18, (23)].