Determinanten

Zusammenfassung

Zunächst sei das Wesen der sogenannten zyklischen Vertauschung erklärt. Man betrachte zu diesem Zweck den Ausdruck

$$A = {a_1}{b_2}{c_3}{d_4} + {a_2}{b_3}{c_4}{d_1} + {a_3}{b_4}{c_1}{d_2} + {a_4}{b_1}{c_2}{d_3} $$

der dem Gedächtnis leicht einzuprägen ist, wenn man sich sein Bildungsgesetz merkt. Aus dem ersten Summanden a₁b₂c₃d₄ geht nämlich der zweite hervor, wenn man gleichzeitig die Indizes 1, 2, 3, 4 durch die Indizes 2, 3, 4, 1 ersetzt. Auf die nämlich Weise geht der dritte Summand aus dem zweiten, und der vierte aus dem dritten hervor. Diese Vertauschung von 1 durch 2, von 2 durch 3, von 3 durch 4 und von 4 durch 1 nennen wir eine zyklische und sagen, die vier Elemente 1, 2, 3, 4 bilden einen Zyklus. Die Skizze der Abbildung wird diesen Namen ohne weitere Erklärung rechtfertigen. Der Summenausdruck A hat naturgemäß die Eigenschaft, daß er bei zyklischer Vertauschung unter Zugrundelegung des Zyklus 1, 2, 3, 4 — oder wie wir dafür kürzer sagen wollen, durch die zyklische Vertauschung 1, 2, 3. 4 — in sich selbst übergeht. Ausdrücke, die diese Eigenschaft haben. kommen in der Mathematik sehr häufig. vor.