Koordinatensysteme und Koordinatentransformation

Zusammenfassung

Nach der Definition von Nr. 57 ist ein Koordinatensystem die Gesamtheit jener festen Elemente, von denen aus man die Lage eines untersuchten Punktes (oder anderer geometrischer Gebilde) durch Zahlen bestimmt; diese Zahlen selbst nennt man die Koordinaten des untersuchten Punktes. Da nun in der Ebene die Lage eines Punktes durch zwei Zahlenangaben bestimmt werden kann, so ist ersichtlich, daß man in der Ebene mindestens zwei feste Elemente für diese Bestimmung nötig hat. Am nächsten liegt es, als feste Elemente der Ebene Gerade und Punkte zu wählen, als einfachste Koordinatensysteme also jene, die aus zwei festen Geraden oder zwei festen Punkten oder einem festen Punkt und einer festen Geraden bestehen. Im ersten Fall hat man das cartesische oder Parallelkoordinatensystem, von dem das vorausgehende eingehender betrachtete rechtwinklige Koordinatensystem nur ein spezieller Fall ist. Die Elemente des Parallelkoordinatensystems sind zwei nichtparallele Gerade, genannt Abszissen- oder x-Achse, und Ordinaten- oder y-Achse. Der Winkel von der x- zur y-Achse kann alle Werte zwischen 0 und π haben, für ω =1/2π hat man das rechtwinklige Koordinatensystem. Die Definition (65a) gilt auch hier:

Cartesische oder Parallelkoordinaten des Punktes P sind die Wege vom Nullpunkt zum Punkt. P in Richtung der Koordinatenachsen.