Zusammenfassung
Wir betrachten ein optisches Instrument, das aus einem beliebig komplizierten System von Linsen (oder Spiegeln) besteht. Die Lichterregung entsteht in einem ersten Raume, dem Objektraum, dessen Punkte wir durch beliebige (Cartesische oder auch krummlinige) Koordinaten (t, x 1, x 2) darstellen, und mündet in einen zweiten Raum, den Bildraum, der durch ebensolche Koordinaten (t’, x’ i , x’ j ) beschrieben wird. Die beiden Hamil-TONschen Funktionen, die die Gestalt der Lichtstrahlen im Innern dieser beiden Räume bestimmen, nennen wir H(t, x i ,y i ) und H’ (t’, x’ i , y’ i ).
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Literature
Bei der obigen Ableitung haben wir benutzt, daß die Funktionen X,…, H mindestens zweimal stetig differentierbar sind. Im Kap. 6 meiner Variationsrechnung habe ich gezeigt, daß das obige Resultat sowie auch die ganze Theorie der kanonischen Transformationen abgeleitet werden kann, ohne vorauszusetzen, daß diese Funktionen zweite Ableitungen besitzen.
Siehe Prange, 1. c. 14, insbes. S. 748 u. ff.
Variationsrechnung § 102.
Variationsrechnung § 94.
Diese ganz elementare, wenn auch etwas längere Rechnung wird, wenn man sich der Indizesbezeichnung bedient, so übersichtlich, daß sie im Kopf gemacht werden kann. Variationsrechnung § 91.
Bei dieser Bezeichnungsweise folgen wir Bruns (vgl. Fußn. 18). Wir werden streng die Eikonale von den charakteristischen Funktionen Hamiltons unterscheiden. Diese Unterscheidung ist nicht immer konsequent durchgeführt worden. Z. B. hat K. Schwarzschild die charakteristischen Funktionen Hamiltons durchweg Eikonale genannt. (K. Schwarzschild: Untersuchungen zur geometrischen Optik I, II, III. Astronom. Mitteil. d. Kgl. Sternwarte zu Göttingen, 9.–11. Tl., 1905, S. 1–31, 1–28 u. 1–54). Auch in neuerer Zeit werden gelegentlich die beiden Begriffe vermischt (vgl. M. Herzberger: Strahlenoptik 5. Teil S. 111. Berlin: Julius Springer 1931).
Für die Theorie der charakteristischen Funktionen Hamiltons, die der Theorie der Eikonale verwandt ist (vgl. § 64), trifft die obige Bemerkung nicht zu. Hamilton hat eine charakteristische Funktion S benutzt (Mathem. Papers S. 268), die in jedem der aufeinander optisch abgebildeten Räume teilweise von Punkt-, teilweise von Richtungskoordinaten abhängt. Ein Eikonal, das diese Eigenschaft besitzt, würde z. B. in der dritten Zelle der dritten Zeile verzeichnet werden müssen.
Variationsrechnung § 22.
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Besonderer Hinweis
Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Carathéodory, C. (1937). Die Strahlenabbildung. In: Geometrische Optik. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol 5. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-91460-7_4
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