Die Grundlagen der geometrischen Optik

  • C. Carathéodory
Part of the Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete book series (MATHE1, volume 5)

Zusammenfassung

Die Frage, die zuletzt aufgeworfen worden ist, soll jetzt für den Fall behandelt werden, daß die Funktion L(t, x i , x ̇ t ) des § 3 beliebig oft differentiierbar ist. Die Behandlung von Diskontinuitätsflächen, an denen Brechung oder Spiegelung des Lichtes stattfindet, wird uns dann nachträglich keine Mühe machen (§ 23). Wir müssen also die Funktionen S, ψ 1 , ψ 2 so bestimmen, daß die Relationen (7.5) und (7.6) gleichzeitig gelten. Dann muß der Ausdruck auf der linken Seite von (7.6) ein Minimum besitzen, wenn man x ̇ j = ψ j nimmt.

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Literature

  1. 39.
    Dies hängt damit zusammen, daß die sog. „Strahlenflächen der Optik“konvexe Flächen sind. Für jedes Problem der Optik ist aber die Strahlenfläche nichts anderes als die Indikatrix (oder die Maßbestimmung) des entsprechenden Problems der Variationsrechnung. Vgl. Variationsrechnung § 225.Google Scholar
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    Variationsrechnung § 235.Google Scholar
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    Bulletin des Sciences par la Société Philomatique de Paris 1819 S. 10–21. Diese wichtige Abhandlung ist in den bisher erschienenen Bänden der „Oeuvres Complètes“von Cauchy noch nicht abgedruckt.Google Scholar
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    Der umgekehrte Schluß, für den Beweis, daß jeder mögliche Lichtstrahl, d. h. daß jede Kurve, für welche das Fermatsche Prinzip gilt, eine Lösung der kanonischen Gleichungen sein muß, ist ein wenig komplizierter. (Vgl. Variationsrechnung § 245.)Google Scholar
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    Die optische Äquidistanz der Wellenflächen entspricht der „geodätischen Äquidistanz“, der man in der Variationsrechnung begegnet. (Vgl. Variationsrechnung § 298).Google Scholar
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    An Stelle des Wortes stismatisch findet man oft, besonders in älteren Schriften über Optik die Bezeichnung anastigmatisch, die überflüssigerweise eine doppelte Negation enthält.Google Scholar
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    Variationsrechnung § 83.Google Scholar
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    Man beachte, daß dieses Resultat zu einer Konstruktion führt, die genau mit der Descartesschen Regel des § 1 übereinstimmt, wenn man den Brechungsindex jeweils proportional der Lichtgeschwindigkeit setzt, wie es die Emissionstheorie des Lichtes verlangt (vgl. § 2, Fußn. 31).Google Scholar
  11. 50.
    Vgl. die Einleitung. Es ist bemerkenswert, daß im selben Jahre 1808 die Abhandlung von Lagrange erschienen ist (s. §13 Fußnote 41), die schon im wesentlichen die Invarianz der Klammern [u α, u β] enthält.Google Scholar
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Copyright information

© Julius Springer in Berlin 1937

Authors and Affiliations

  • C. Carathéodory

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