Zusammenfassung
Für die weiteren Betrachtungen ist nun ein Begriff von fundamentaler Wichtigkeit zu erläutern, der unter dem Namen Grenzwert oder limes bekannt ist.
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Literaturhinweise
Sei z. B. eine eben erreichte sehr kleine Zahl so können wir von ihr aus gegen Null vorwärts schreiten, indem wir den Exponenten im Nenner z. B. je um 10 erhöhen, also mit. Da nun aber nicht angebbar ist, welchen Exponenten 10 im Nenner haben müßte, der auf diese Weise in endlicher Schrittanzahl erreichbar wäre, damit die so erhaltene Potenz in 1 dividiert 0 gäbe, so ist die Null auf diese Weise nicht erreichbar. Analoges gilt für andere Annäherungsarten.
Diese Bezeichnung klingt etwas sehr paradox, d. h. sie schließt in sich als einem Wort scheinbar einen direkten Widerspruch ein. Dieser verschwindet aber, wenn man das Wort unendlich nicht, wie gewöhnlich falscherweise schlechthin mit überaus groß identifiziert, sondern ihm die exaktere, richtigere Auffassung unerreichbar oder unbeschränkt läßt. Dasselbe ist zu sagen vom Ausdruck: „unendlich nahe“ u. dgl. (Vgl. S. 342, 367.)
Vgl. S. 247 u. ff. Koestler-Tramer, Differential-u. Integralrechnung. I. 16
Wollen wir uns diesen Gegensatz von schrittweiser Verfolgung eines Prozessen in der Vorstellung und sein begriffliches Vollendetsein an einem sehr naheliegenden Beispiele klarmachen, so betrachten wir etwa die Frage, wie man dazu gelangt, einen ganz bestimmten Menschen von allen anderen Menschen zu unterscheiden und damit als den so bestimmten auch anderen gegenüber zu charakterisieren. Der eine Weg ist der, daß wir versuchen, die seelischen und körperlichen Eigenschaften dieses Menschen einzeln aufzuzählen. Und da werden wir bald gewahr, daß wir auf diesem Wege nie zu einem Ende gelangen, indem wir immer wieder neue Eigenschaften entdecken. Aber das heißt nichts anderes, als daß auf diesem Wege überhaupt nicht zu einem Ziele zu gelangen ist, also eine Abgrenzung dieses Menschen und also Definition dieses Individuums theoretisch unmöglich wäre. Daher versuchen wir es auf andere Weise: Wir belegen diesen Menschen mit einem Namen, der also das Zeichen für einen Begriff ist, nämlich den Begriff dieses Individuums, den Inbegriff aller seiner Eigenschaften. Dann aber haben wir in diesem Begriff die vorher nicht erreichte Gesamtheit aller seiner Eigenschaften mitzudenken, wenn wir auch nicht imstande sind, sie alle einzeln uns zu vergegenwärtigen. Was auf dem Wege der reinen Anschaulichkeit, der Vorstellung, nicht zu erreichen war, ist also auf dem Wege des Begriffes einfach und indem man den Prozeß des ersteren Weges als vollendet denkt, ausgeführt worden.
Im speziellen nennen wir als Beispiele für aktuell unendlich kleine Größen: Das Volumen oder Gewicht des Staubteilchens gegenüber dem des Tisches, auf dem es Hegt, um so mehr gegenüber der Erde, aber ev. auch schon gegenüber der Pflanze, an der es sitzt, wenn es die genannte Haupteigenschaft hat, für einen Vergleich nicht in Betracht zu fallen. Ebenso ist je nach Umständen und Forderungen, die bezüglich der für Betrachtung und Rechnung willkürlich gestellten Grenzen der Genauigkeit gestellt werden: Die Erde als unendlich kleine Größe zu betrachten im Weltenraum, das Tier gegenüber diesem oder schon gegenüber der Erde, ev. gegenüber einem Erdteil oder einem Land in einer gemeinschaftlichen Maßeinheit behandelt; und nicht nur das Elektron gegenüber dem leitenden Draht, sondern auch gegenüber dem Molekül, in viel höherem Maße gegenüber der Erdkugel (höherer Ordnung; vgl. S. 248, 252 u. ff.), da dieser gegenüber schon der Draht unter normalen Verhältnissen unendlich klein erscheint; stets aber nur so lange, nur unter der Bedingung, daß es nach Größe oder Wirkung im betreffenden Fall vernachlässigt werden kann.
In diesem Sinne ist die „unendlich kleine Größe“ mit dem Begriff eines ohne Aufhören fortgesetzten Näherungsprozesses, des fortdauernden Annäherns an einen bestimmten endlichen Wert, dem Begriff des später im besonderen zu behandelnden „Grenzwertes“ untrennbar verbunden (vgl. S. 297/98).
Von einer unendlichen Zahl als einer bestimmten im Sinne der endliehen Zahl können wir daher hiernach auch nicht reden, sie ist für diese Auffassung keine eigentliche Zahl.
Vgl. S. 31, 122.
In manchen Lehrbüchern wird diese Zahl „∞“ auch als eingebildete oder fiktive Zahl bezeichnet. Doch ist dies nicht ganz streng richtig; denn diese Bezeichnungsweise würde bedeuten, daß ihre Einführung völlig der Willkür anheimgestellt ist. Dem ist aber nicht so, sondern die Aufstellung dieser Zahl ist durch einen logisch-mathematischen Gedankenprozeß gefordert als logisches Endglied desselben und aus diesem Grunde ihre Einführung berechtigt und nicht völlig willkürlich. Übrigens sei noch bemerkt, daß es sich ähnlich mit fast allen sog. fiktiven Größen der Mathematik verhält, wie z. B. mit dem unendlich fernen Punkt einer Geraden, der unendlich fernen Geraden und der unendlich fernen Ebene in der Geometrie, deren bloßer Ersatz die unendliche Zahl in der Analysis ist. [Nach dem „unendlich fernen Punkt“ gehen alle Parallelen bestimmter Richtung und ist derselbe also auch durch eine Gerade, eben ihre Richtung, gegeben. Konstruiert wird mit ihm, indem man weitere Gerade nach ihm zieht, d. h. Parallele, genau so, wie ein im Endlichen Hegender Punkt durch mindestens zwei Geraden als deren Schnittpunkt bestimmt ist. Die „unendlich ferne Gerade“ ist diejenige Linie, welche von jeder Geraden in einem und zwar unendlich fernen Punkte geschnitten wird; sie ist daher auch jeder anderen Geraden (im Endlichen) parallel. In jeder Ebene gibt es eine (als einzige) unendlich ferne Gerade. Jeden ihrer sämtlichen Punkte kann ich auffinden und angeben durch eine Gerade und ihre Parallele in der Ebene. Man konstruiert mit ihr, indem man sie durch zwei parallele Ebenen festlegt, genau so, wie man eine im Endlichen liegende Gerade durch den Schnitt zweier nicht parallelen Ebenen festlegt. Die „unendlich ferne Ebene“ ist diejenige räumliche Fläche, welche jede Gerade des Raumes in nur einem Punkte schneidet. Sie enthält alle unendlich fernen Punkte und alle unendlich fernen Geraden, in denen sich je zwei parallele Ebenen schneiden. Legen wir eine Gerade durch zwei Punkte im Räume fest, so können wir in Analogie auch die unendlich ferne Gerade als Verbindung zweier unendlich fernen Punkte festlegen, welch letztere durch die Richtungen je zweier parallelen Geraden gegeben sind. Die Ebene, welche zu diesen Parallelen parallel ist, enthält dann die beiden unendlich fernen Punkte und damit auch ihre Verbindungsgerade. Eine Vorstellung von diesen unendlich fernen Elementen: Punkt, Gerade, Ebene ist uns unmöglich.] Diese Größen gehören auch in das Gebiet der durch Vorstellung nicht zugänglichen, sondern nur begrifflich, durch rein logische Entwicklung gewonnenen.
„Jede Gerade hat nur einen unendlich fernen Punkt“ ist daher nur eine andere Ausdrucksweise des fünften Euklidschen Postulates.
Nach früherem liegt ein Punkt im Endlichen, solange noch ein anderer angegeben werden kann, der noch weiter weg liegt. Für den der Parallellage entsprechenden Punkt auf g trifft dies nicht mehr zu; er ist daher unendlich fern und ihm entspricht die (eine, bestimmte) Zahl unendlich (∞); sie ist hier auch die erste unendlich große Zahl.
Null ist, absolut genommen, die kleinste Zahl überhaupt und kann daher aufgefaßt werden als kleinste endliche Zahl und als kleinste unendlich kleine Zahl im Sinne des Aktuell-Unendlichkleinen.
In ähnlicher Weise kann man auch von den Betrachtungen im Zahlengebiet der reellen Zahlen zu Betrachtungen im Zahlengebiet imaginärer und komplexer Zahlen und Größen übergehen und kommt auf diese Weise auch zum Begriff von unendlich kleinen und unendlich großen imaginären und komplexen Zahlen bzw. Größen. Der geometrische Ort der ersteren ist der unendlich ferne Punkt der imaginären Achse, derjenige der einfachen komplexen Zahl „der unendlich ferne Punkt“ ihrer Zahlenebene.
von denen die ersteren auch als infinitesimale oder infinite, die letzteren auch als transfinite Zahlen bzw. Größen tezeichnet werden.
wie klein sie auch sein mögen, beliebig klein.
was auch ohne weiteres mittels des Satzes 6 a bzw. 7 a (S. 252) erkannt wird. Koestler-Tramer, Differential-u. Integralrechnung. I. 17
Vgl. S. 294/296, 312.
„limes“ ist die lateinische Übersetzung des Wortes „Grenze“.
Lies: „Limes von x, gleich ‘A“, oder auch: „Der Limes oder der Grenzwert (die Grenze) von x ist ‚gleich‖ A“. Wir machen speziell darauf aufmerksam, daß sowohl das „∼“ als auch besonders das „=“-Zeichen hier eine andere Bedeutung als ihrer Aussprache entsprechend und gewöhnlich in den algebraischen Gleichungen und Relationen haben, daß sie weder ein Gleichsein noch Ähnlichsein bedeuten, sondern ein Annähern, also die Angabe eines ganzen Näherungsprozesses, an Stelle von dessen langwieriger Umschreibung gesetzt, in sich schließen. Ist die Frage, welcher der beiden Fälle vorliegt, „nähern“ oder „haben“, unentschieden oder sonst nicht so von Belang, daß diese zu unterscheiden sind, so entscheiden wir uns für die Verwendung des „=“-Zeichens.
Vgl. hierzu das bei Einführung der irrationalen Zahlen Gesagte, S. 6 u. ff.
Das „∾“-Zeichen und das „ = “-Zeichen in „n∼∞“ bzw. „n = ∞“ sind, wie aus früheren Betrachtungen folgt, durchaus gleichberechtigt, weil hier auch das „=“-Zeichen nicht mehr sagen kann als das „∾“-Zeichen, nämlich ein unbeschränktes Wachsen von n ausdrücken, was man einem Erreichen einer Zahl ∞ gleichwertig denkt. Und auf das letztere, auf das Erreichen der Grenze als einer bestimmten Zahl ∞, kann sich das „ = “-Zeichen nur beziehen, ohne damit mehr zu sagen, als das „∾“-Zeichen. In den Schreibweisen „n ∽∞“ oder „n = ∞“ ist daher kein prinzipieller Unterschied zu erblicken; er liegt nur in der Auffassung des unbeschränkten Wachsens. Man kann daher ganz allgemein ohne weiteres das eine oder das andere Zeichen, „∾“ oder „=“, gegenüber dem Zeichen ∞ verwenden.
Die allgemeine Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Progression
Wenn an einem Ort das =-Zeichen steht, man also von einem Erreichen der Grenze durch x n spricht, so muß dies natürlich auch mit der Variablen n ihrerseits zutreffen, da es anders für x n nicht gut denkbar ist; es muß also auch unter dem „lim“ das =-Zeichen gebraucht sein. — Umgekehrt sieht man leicht ein, daß ein Annähern und Nicht-Haben einer Grenze auch nur für beide Größen zugleich denkbar ist. Daraus folgt, daß an beiden Orten stets das nämliche Zeichen zu gebrauchen ist.
d. h., daß für jedes n die Variable x n auch stets einen und nur einen ganz bestimmten Wert erhält.
Währenddem diese Redewendung: „konvergiert gegen eine Grenze oder den Grenzwert“ für eine endliche Zahl, eine eigentliche Grenze nichts auf sich hat, ist sie aus nahelifegenden Gründen besser zu vermeiden, wenn diese Grenze keine eigentliche Zahl mehr ist, also durch die „Zahl“ ∞ repräsentiert ist.
In der Schrift werden wir auch hier im Limes das —-Zeichen benutzen, sofern von einem Unterscheiden der beiden Fälle nicht die Rede ist.
Vgl. z. B. W. F. Osgood: „Lehrbuch der Funktionentheorie“ 1907.
Wennschon wir auch hier für verschiedene Funktionen das nämliche Funktionszeichen verwenden, entgegen einer früher (S. 128) gemachten Angabe, so geschieht dies in Übereinstimmung mit dem allgemeinen Gebrauche in Fällen, wo eine Verwechslung nicht möglich ist und die Deutlichkeit der Darstellung dadurch nicht leidet, zum Zweoke möglichster Vereinfachung.
Der zweite Fall 1 liefert wieder eine selbstverständliche
Für sehr kleines x kann nämlich geschrieben werden: worin N gerade oder ungerade ganz und damit α stets ein spitzer Winkel und wenn ς eine sehr kleine und N eine sehr große Zahl bedeuten. Dann wird: Somit folgt:.
Vgl. S. 15.
Vgl. S. 344-351.
S. 256 u. ff.
Vgl. S. 119/20.
Vgl. S. 4.
Der Grenzwert einer Summe bestehend aus unendlich vielen Summanden kann, er muß aber im allgemeinen nicht gleich der Summe der Grenzwerte der Summanden sein. Wir werden dies später noch deutlicher erfahren (vgl. S. 436).
Lediglich der Abkürzung und einfacheren, übersichtlicheren Schreibweise halber setzen wir nur das Funktionszeichen ohne das hier selbstverständliche, dazu zu denkende Argument, also z. B. „f“ an Stelle von „f“(x)“, wie es übrigens in Fällen größerer und komplizierterer Ausdrücke öfters mit Vorteil praktiziert wird.
Vgl. S. 4.
Auf eleganterem und namentlich kürzerem Wege erreicht man dieses Ziel mit der Differentialrechnung, was uns später selbstverständlich werden wird, da dieselbe sich als spezielle, kürzere und übersichtlichere Form der Grenzwertrechnung erweist (vgl. VI, S. 352 u. ff.).
Man kann auch die Einsetzungen mit r machen und alsdann durch Division mit r diese Größe aus der Ungleichung herausschaffen.
Vgl. S. 28 u. ff., 120/21, 239/40.
Ein nicht abgeschlossenes Intervall, d. h. ein Intervall, dem die Endpunkte a und b nicht angehören, vermögen wir uns räumlich auch nicht vorzustellen, während wir begrifflich etwas ganz bestimmtes damit zu verbinden imstande sind, nämlich die Tatsache, daß die Funktion zwar für beliebig nahe Werte an a und b gilt, daß sie aber für a und b selbst ihre Gültigkeit verlieren kann. Dies ist z. B. der Fall mit der Funktion f (x)-im Intervall 0 … 1, da sie für den Wert x = 0 versagt.
Vgl. S. 384. Methode der Einschachtelung der Intervalle und W. F. Osgood: „Lehrbuch der Funktionentheorie“ I, 1907.
S. 289.
S. 288.
S. 288.
S. 290.
Die Basis des Logarithmen-Systems ist beliebig — worauf wir mit der allgemeineren Schreibweise „Log“ hindeuten wollen —, da man ja durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Modul, den Logarithmus stets in einem anderen System ausdrücken kann, welche aber hier, ausgehend von einem bestimmten Logarithmen-System, in Zähler und Nenner auftreten und daher durch Kürzung wieder verschwinden würde.
aktuell unendlich klein.
Vgl. S. 240, 367.
Vgl. S. 138.
Vgl. auch S. 350, Anm.
Vgl. S. 296.
S. 291, 292.
Für den bereits die einschlägigen Beziehungen kennenden Leser wollen wir die Ableitung dieser Formeln hier kurz anführen: Wir gehen aus von der „Logarithmischen Reihe“: welche auch allgemein für eine komplexe Zahl (Variable) z gültig ist unter der Bedingung, daß Aus ihr folgt,єnn wir z durch —z ersetzen: ln wenn worin z eine gewöhnliche komplexe Zahl bedeutet, für die wir setzen können: und daher: die Klammer kann als wieder komplexe Zahl: [(1 — r cos ϕ) — ir sin ϕ] abermals als solche geschrieben werden: wobei: Nach der Moivreschen Formel: Durch Gleichsetzung der reellen Werte einerseits und der imaginären Werte andererseits folgt: also: Setzen wir statt μ wieder allgemein ϕ, so wird: Durch Addition zu obigem Ausdruck für folgt schließlich: gültig für jeden (reellen) Wert von ϕ, wie die nähere Untersuchung ergibt. Setzt man statt ϕ die allgemeine reelle Variable x, so folgt schließlich
Daß der Satz, eine Funktion, welche durch die Summe anderer stetiger Funktionen gebildet ist, auch stetig ist, solange die Anzahl der Summanden-Funktionen eine endliche ist, seine Richtigkeit hat, veranschaulichen deutlich die obigen Beispiele. Von bestehen die Summanden alle aus stetigen Funtionen, während ihre unendliche Summe, wie gesehen, nicht stetig ist. Ebenso ist die Funktion bestehend aus unendlich vielen stetigen Funktionen, unstetig im Nullpunkt, wo ihr Wert von + nach springt. Es folgt hieraus wiederum von neuem, daß bei derartigen Übergängen zum Unendlichen Vorsicht geboten ist.
Vgl. S. 291, 292.
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Koestler, W., Tramer, M. (1913). Stetigkeit und Unstetigkeit. In: Differential- und Integralrechnung. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-91322-8_5
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