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Die Vektorenrechnung

  • W. Koestler
  • M. Tramer

Zusammenfassung

In der bisherigen Darstellung sind wir im wesentlichen über das Gebiet der reinen Zahlenlehre nicht hinausgekommen. Die geometrischen Betrachtungen, die wir gelegentlich anstellten, hatten, wie wir ausdrücklich betonten, nur den Zweck, die Ableitungen, Untersuchungen anschaulicher zu gestalten und ihren Inhalt dem Verständnisse näher zu bringen. Sobald wir aber zu den Anwendungen der Zahlenlehre in Geometrie, Physik, Technik usw. uns wenden, so werden wir vor die Frage gestellt, inwiefern die dort auftretenden Dinge und Eigenschaften sich den Gesetzen der Zahlen unterwerfen lassen, falls wir sie durch Zahlenausdrücke darstellen wollen. Offenbar wird die Antwort auf diese Frage davon abhängen, wie man dieselben durch Zahlen zu geben vermag bzw. praktischer ausgedrückt, wie man ihnen in bestimmter, für die Anwendung zweckmäßiger Weise Zahlen zuordnen kann.

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Literaturhinweise

  1. 1).
    Bezüglich einer noch allgemeineren Definition der „Größe“ und eingehender Darlegung ihres Verhältnisses zur Zahl vgl. § 12, S. 114 u. ff.Google Scholar
  2. 1).
    Graβmann, Hermann, Günter, Mathematiker und Sprachforscher 1809–1877, Gymnasialprofessor in Stettin. Hauptwerk: „Die Wissenschaft der extensiven Größen oder die Ausdehnungslehre.“ Leipzig 1844, neue Bearbeitung 1862.Google Scholar
  3. 1).
    wo dann allerdings von ihr als Maßgröße bzw. Maßzahl im ebengenannten Sinne nicht geredet werden kann.Google Scholar
  4. 1).
    Der Name selbst (gebundener Vektor) rührt von Timerding her, wofür Graβ-mann das Wort Linienteil, sein Sohn Stab vorschlugen und Föppl linienflüchtiger Vektor schreibt.Google Scholar
  5. 2).
    Unter Dimension in physikalischem Sinne — was streng zu unterscheiden ist von Dimension in geometrischem Sinne — versteht man bekanntlich die Art der Verknüpfungen der angenommenen Grundeinheiten in der zu messenden Größe. So ist z. B. im Zentimeter-Gramm-Sekunden-System (cm-gr-Sek-oder CGS-System) die Dimension der Geschwindigkeit cm Sek-1. diejenige der Energie (und Arbeit) cm2 gr Sek-2.Google Scholar
  6. 1).
    Die Bezeichnung des absoluten Wertes eines Vektors mit lateinischen Buchstaben an Stelle des für den Vektor geltenden deutschen besitzt jedoch eine beschränktere Anwendungsfähigkeit als diejenige mit den einfassenden vertikalen Strichen, denn sie läßt sich nur auf die Schreibweise des Vektors in einem Buchstaben anwenden und nicht beibehalten, wenn ein Vektor als Resultat einer anzudeutenden Operation durch die operativ verbundenen Elemente geschrieben werden soll (vgl. S. 72, Anm. 2); sie hat aber den Vorteil der einfacheren Schreibweise.Google Scholar
  7. 1).
    Wenn schon das „ + “-Zeichen sonst nur für die Andeutung der algebraischen Addition eingeführt wurde, so pflegt man hier für diese geometrische, doch ganz anders definierte Addition kein neues Additionszeichen aufzunehmen, sondern das algebraische auch dafür beizubehalten. Die Andeutung der neuen Additionsart verlegt man in die andere Schreibweise der so addierten Größen, indem man für sie andere Buchstabenzeichen (gotische) verwendet. Das Analoge ist von der Verwendung des „—“-Zeichens zu sagen.Immerhin trifft man für die Andeutung der geometrischen Addition und Sub. traktion a. a. O. auch die Zeichen: oder.Google Scholar
  8. 2).
    Der absolute Wert des Vektors ℭ ist |ℭ| = C oder mit Andeutung des Entstehungsgesetzes des Vektors ℭ auch zu schreiben |K + B |; falsch wäre es aber, ihn mit A + B zu notieren, da dies die Summe der absoluten Werte der Vektoren K und B ist und diese nicht gleich ist dem absoluten Wert der Summe dieser Vektoren. Es ist:.Google Scholar
  9. 1).
    Es könnten natürlich auch mehr als nur die folgenden zwei Produkte zweier Vektoren definiert werden; ihre Einführung ist jedoch durch das vorliegende Bedürfnis und ihre Eignung zu derartigen Kombinationen bedingt.Google Scholar
  10. 2).
    Der Name „äußeres Produkt“ wird für das vektorielle in der Vektoranalysis von Hamilton, Heaviside und Föppl benutzt, wohingegen Graßmann darunter etwas anderes versteht, vgl. S. 80; aus diesem Grunde vermeiden wir hier diese Ausdrucks-weise.Google Scholar
  11. 3).
    Um MißVerständnisse zu vermeiden, ziehen wir im allgemeinen die ersteren dieser Schreibarten vor und reservieren uns die runde Klammer möglichst allein für die übliche algebraische Zusammenfassung von Ausdrücken.Google Scholar
  12. 1).
    Sein Zahlenwert wird auch durch den Inhalt des Parallélogrammes angegeben, welches aus den den zugehörigen Komplement-Winkel einschließenden Vektoren gebildet wird oder aus zwei Vektoren als Seiten entsteht, wenn wir den einen der beiden Vektoren ersetzen durch den zu ihm senkrechten gleicher Länge.Google Scholar
  13. 1).
    Für eine analytische Einführung der Vektoren, wie dies bei den Quaternionen geschehen ist, müßte man das distributive Gesetz als gültig voraussetzen.Google Scholar
  14. 1).
    Daher ist das Vektorprodukt auch als „Parallelogrammvektor“ bekannt. 2) auf kürzestem Wege.Google Scholar
  15. 1).
    Vgl. S. 98.Google Scholar
  16. 1).
    Im besonderen ist dieser Vektor des Momentes eines Kräftepaares zugleich ein freier Vektor (vgl. S. 70), derjenige, durch den das statische Moment einer Kraft dargestellt wird, als gebunden an den Bezugspunkt, ein gebundener Vektor. Google Scholar
  17. 1).
    Vertauschen Daumen und Mittelfinger ihre Rolle, so tun es auch die Hände, d. h. das Rechtssystem wird dann durch die sog. Linke-Handregel, das Linkssystem durch die Bechte-Handregel definiert. Weil im Rechtssystem, von der Seite der positiven, ersten (x-) Achse aus gesehen, die Drehung der zweiten (y-) in die dritte (z-) Achse eine entgegen derjenigen des Uhrzeigers verlaufende, sog. positive Drehung ergibt, so bezeichnet man dasselbe auch als „positives Koordinatensystem“ und dementsprechend das Linkssystem als „negatives“.Google Scholar
  18. 1).
    Da die Koordinatenachsen als solche zufolge ihrer Definition bereits eine ganz bestimmte, ihnen stets gleichbleibend eigene Richtung besitzen und wir zudem an ihnen keine Größe, Länge, keinen Betrag unterscheiden, so ist eine vektorielle Auffassung für sie im obigen Sinne ohne Belang. Für Größen, die stets nur eine bestimmte Richtung besitzen, die sie nie ändern, ist eine Betrachtung als Vektoren überflüssig. Wir verwenden daher überall für die Bezeichnungen der Achsen, wenn auch stets ihre Richtung gemeint ist, dem üblichen Gebrauche folgend, skalare Bezeichnung x, y, z. Google Scholar
  19. 1).
    aber: vgl. S. 94.Google Scholar
  20. 1).
    Auch die geometrische Deutung der Quaternionen läßt sich hiernach in anderem Sinne als früher ergänzen, wenn wir auch dort den Einheiten i, j, k nicht nur die Bedeutung einer reinen Zahl zuschreiben, sondern, damit verbunden, zugleich noch eine bestimmte Richtung; wenn wir sie also auch als „gerichtete Einheiten“ erklären, als Größen, denen neben einer abstrakten Zahlenbedeutung noch eine Richtungsbedeutung zukommt, kurz als sog. „Einheitsvektoren“. In dieser Weise erklären sich dann die Teilzahlen a 1 i, a 2 j, a 3 k der Quaternionen als Größen mit dem Zahlenmaß a 1, a 2, a 3 und der durch die Einheiten i, j, k angegebenen Richtungen, als Vektoren von der Maßgröße a1, a2, a3. Wie in der Ebene sich i auch als Richtungszeichen deuten ließ, so ist es hier auch für i, j, k für drei zueinander senkrecht stehende Richtungen im Räume möglich. Im Gegensatz zu diesen drei gerichteten Größen a 1 i, a 2 j, a3 k bezeichnet man dann auch hier a 0 als skalare Größe. Die Quaternion wird auch hiermit zu einer Zahl, die sich vom Charakter der gewöhnlichen reellen, rein imaginären und gewöhnlichen komplexen sehr unterscheidet. Wir finden in ihr eine neue Zahlenart, die nicht nur in ihrer Maßgröße durch vier Zahlenmaße a 0, a 1,a 2,a 3 festgelegt, sondern zudem noch durch die in den drei Einheiten i, j, k gegebenen Richtungen bestimmt ist. Die der richtigen Auffassung näherkommende Schreibweise der Quaternionen wäre demnachGoogle Scholar
  21. 1).
    Es ist nach Fig. 40Google Scholar
  22. 2).
    Man denkt sich dabei die Punkte x, y, z auf einer Kreislinie nach Fig. 41 angegeben und im gleichen Folgesinn, z. B. im Sinne des Uhrzeigers gelesen, nach einem Umgang jeweils beim folgenden derselben beginnend.Google Scholar
  23. 1).
    die den Zweck hat, nur allgemein in einfachster Weise zu orientieren, ohne Rücksichtnahme auf einen bestimmten Fall, wie den folgenden.Google Scholar
  24. 1).
  25. 1).
    Für eine weder als Skalar noch als Vektor bekannte Größe wählen wir vorübergehend diese Schreibweise; die Unbestimmtheit wird durch den über dem Buchstaben der Größe angegebenen horizontalen Strich angedeutet.Google Scholar
  26. 1).
    Die Bedeutung des Horizontalstriches wurde auf vorausgehender Seite bereits genannt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1913

Authors and Affiliations

  • W. Koestler
    • 1
  • M. Tramer
    • 2
  1. 1.BurgdorfDeutschland
  2. 2.ZurichSchweiz

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