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Einführung der Zahl

  • W. Koestler
  • M. Tramer

Zusammenfassung

Um die Menge der Einzeldinge, die zusammen eine Gruppe bilden, bzw. um die Mächtigkeit einer solchen Menge, z. B eine Gruppe von Bäumen, Menschen u. dgl., durch einen einzigen Ausdruck zu bezeichnen — wobei man von den individuellen Verschiedenheiten absieht, sie also für den Akt des Zusammenfassens als völlig gleichberechtigt betrachtet —, erhielt man die natürlichen Zahlen, die in eine fortschreitende Reihe geordnet, die sog. natürliche Zahlenreihe:
$${\text{1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots }}$$
bilden. Sie ist die Grundlage alles Rechnens.

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Literaturhinweise

  1. 1).
    Die Null und die negativen Zahlen führten vermutlich die Inder zuerst ein, während sie die alten Griechen nicht besaßen (vgl. Klein, F. autogr. v. Hellinger, „Math. v. höh. Standp. aus“ 1908, S. 63).Google Scholar
  2. 1).
    Zwei Größen, die beide aus Vielfachen derselben dritten zusammengesetzt sind, heißen kommensurabel (z. B. Umfang und Seite des Quadrates) und die dritte ihr gemeinsames Maß. Gibt es kein solches gemeinsames Maß, so heißen sie inkommensurabel Google Scholar
  3. 1).
    Nach G. Cantor: Math. Annalen 1872, S. 123 ff.Google Scholar
  4. 2).
    Um eine Vorstellung davon zu geben, wie etwa die Zahlen im dyadischen System aussehen, wollen wir einige endliche Mengen durch dyadische Zahlen ausdrücken und ihnen zum Vergleiche die entsprechenden Dezimalzahlen zur Seite stellen. Im dyadischen System existieren natürlich nur die Zahlen 0 und 1, da eben Zwei hier bereits eine neue Gruppe bedeutet, wie es die Zahl Zehn im Dezimalsystem tut, dem die zehn Zahlen 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zugrunde liegen. Wie wir im dezimalen System als erste höhere Zahleneinheit 101 = 10, als nächst höhere 102 — 100, weiter 103 = 1000 usw. einführen, so ist im dyadischen System als erste höhere Einheit 21 = 2, als nächst höhere 22 = 4, dann 23 — 8 usw. zu nennen. Nach unten fortgesetzt sind diese Einheiten dort.hier: wenn wir zunächst noch die dyadischen Einheitsgruppen durch Dezimalzahlen ausdrücken. D. h., wenn uns eine endliche Menge von Dingen vorliegt und wir wollen dieselben nicht nur abzählen, sondern auch durch dyadische Zahlen darstellen, so müssen wir die Menge ordnen in Gruppen zu zwei, dann zu höheren Gruppen 22 = 4, dann zu 23 = 8 usw., analog wie wir sie bei der Benutzung des Dezimalsystems in höhere Gruppen zu 101 = 10, Somit: Für n genügend groß: Folglich: und damit auch: Wir setzen: womit dann folgt: und damit ist um so mehr: und somit: begründet.Google Scholar
  5. 1).
    Das Wort irrational, zum erstenmal getroffen in einer lateinischen Übersetzung eines arabischen Kommentars zu Euklid aus dem 12. Jahrh., war später bis ins 16. Jahrh. durch surdus (d. h. taub, lat.) ersetzt. Es kommt her vom griechischen Wort ἄλογος, lat. geschrieben alogos, d. h. unaussprechbar, begründet durch die richtige Erkenntnis der Pythagoreer, daß ein Verhältnis der Quadratdiagonale zur Quadratseite zwar existiere, sich aber mit den bis zu ihrer Zeit gekannten Zahlen nicht aussprechen lasse; die Übersetzung ins Lateinische machte aus logos dann ratio, Vernunft, woher die unglückliche, falsche Deutung vernunftwidrig für irrational stammt.Google Scholar
  6. 1).
    Im gleichen Falle befinden sich auch Kreisumfang und-durchmesser, die auch inkommensurabel sind und deren Verhältnis die irrationale Zahl π = 3,141592653 … entspricht. Die Zahl der geometrischen Beispiele ließe sich noch beliebig vergrößern; wir erinnern nur noch an die Inkommensurabilität der Seite vieler regulärer Vielecke zum Radius ihres Um-oder eingeschriebenen Kreises. Der Begriff der irrationalen Zahlen ist denn auch geometrischen Ursprungs; inkommensurable Streckenpaare führen auf irrationale Zahlen, die ursprünglich auch als inkommensurable Zahlen bezeichnet wurden.Google Scholar
  7. 1) Vgl. R. Dedekind: „Stetigkeit und irrationale Zahlen.” Braunschweig 1872. Vgl. R. Dedekind: „Was sind und was sollen die Zahlen?” Braunschweig 1888.Google Scholar
  8. 1).
    Richard Dedehind: „Stetigkeit und irrationale Zahlen.“Google Scholar
  9. 2).
    Vgl. Fig. 1, S. 6.Google Scholar
  10. 3).
    Diese Annahme oder dieses Axiom hat sich als zweckmäßig und genügend für die analytisch-geometrischen Untersuchungen ergeben. Daß dies nicht die einzige Möglichkeit ist. zeigt z. B. Veronese in seinen Grundlagen einer mehrdimensionalen Geometrie, denn man kann nach ihm noch andere Zahlen definieren, die gleichsam die Lücken zwischen den irrationalen Zahlen noch ausfüllen. Veronese stellt diese Zahlen dar durch die Form: wo a 0, a 1,a 2, … gewöhnliche reelle Zahlen sind und π1, π2, … sog. unendlich große Zahlen von steigender Größenordnung, d. h. π2 unendlich groß gegenüber π1, aber unendlich klein gegenüber π3 usw. (Bezüglich der näheren Erläuterung der Begriffe „unendlich groß“ und „unendlich klein“ verweisen wir auf spätere Teile, S. 239 u. ff.)Google Scholar
  11. 1).
    vgl. IV, S. 235 u. ff.Google Scholar
  12. 2).
    oder mit Kleinschen Worten: Es ist keine approximative Mathematik (Approximationsmathematik), sondern eine Mathematik der approximativen Beziehungen. Näheres vgl. Felix Klein: „Anwendung der Differential-und Integralrechnung auf Geometrie; eine Revision der Prinzipien.“ Autogr. d. Vorlesg. SS. 1901 v. Konr. Müller. Leipzig 1902 i. Komm, bei Teubner, S. 5f f. oder auch F. Klein: „Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus.“ Autogr. d. Vorlesg. WS. 1907/08 v. E. Hellinger. Leipzig 1908, Teubner, S. 89.Google Scholar
  13. 1).
    Vgl. auch S. 38 u. 236.Google Scholar
  14. 2).
    Auf den Begriff der Stetigkeit kommen wir später noch näher zurück (S. 120 21, 319 u. ff.).Google Scholar
  15. 3).
    Folgendes Beispiel möge dies erläutern: Wir wollen zeigen, wie man zwischen die Zahlen und noch unbegrenzt viele rationale Zahlen einschalten kann. Zunächst wählen wir die Zahl, welche zwischen ihnen in der Mitte liegt, also gleich ist. Zwischen dieser Zahl und der ersten gibt es wieder eine mittlere; sie ist ebenso zwischen der mitt-leren und der zweiten Zahl sie ist In einer Reihe geschrieben folgen die Zahlen: In gleicher Weise kann man nun leicht unbegrenzt viele solcher rationaler Zahlen einschalten und natürlich auch in anderer Teilung diese Zwischenschaltungen vornehmen.Google Scholar
  16. 1).
    D. HILbert: „Grundlagen der Geometrie.“ 3. AnFl. Anhang ß in Samml. Wissenschaft und Hypothese Bd. VII, 1909.Google Scholar
  17. 2).
    Nach Georg Cantor: „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.“ Leipzig 1883. — Math. Ann. Bd. V, 1872, S. 122ff. Math. Ann. Bd. XV, 1882, S. 1 und Bd. XXI. Vgl. auch A. Schoenßies: „Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten.“ Jahresber. d. Deutsch. Math.-Ver. VIII. Bd., 2. Heft, 1900. Vgl. auch A. Schoenßies: „Mengenlehre.“ Enzykl. d. math. Wiss. I. Bd., I, 5. F. Klein: „Anwendung d. Diff. u. Integr.-Rechng. a. Geom.“ S. 210u. ff.Google Scholar
  18. 1).
    Eine endliche Zahl (Anzahl) ist eine solche, für die es noch eine größere gibt, falls man eben die Null als die kleinste Zahl betrachtet und also nur absolute Werte der Zahlen in Betracht zieht; sie ist der Ordnungsbegriff der „endlichen Menge“. Ihr gegenüber steht die unendliche Zahl als Ordnungsbesriff der „unendlichen Menge“; vgl. diesbezüglich das hier folgende; auch S. 122, 244.Google Scholar
  19. 1).
    Es wird dem Operieren mit unendlichen Mengen und überhaupt unendlichen Zahlen (dem Ordnungsbegriff der unendlichen Menge), was ebenso für Grenzprozesse überhaupt auszudehnen wäre, von philosophischer Seite der Vorwurf gemacht, daß man mit Größen operiere, die durch einen Prozeß entstanden sind, der tatsächlich unvollführbar ist. Diesem Einwand scheint aber ein Irrtum zugrunde zu Hegen, denn wir müssen einen Unterschied machen zwischen einem Prozeß, den wir in unserer Vorstellung schrittweise auszuführen haben und einem Prozeß, den wir vermöge des Gesetzes, durch das er gegeben ist, vollführt denken können, ohne in der Vorstellung die Möglichkeit zu haben, alle Schritte tatsächlich auszuführen. Es ist eben ein Unterschied zwischen tatsächlicher Ausführung eines unbegrenzten Prozesses, die natürlich immer unmöglich bleiben muß und der durch logische Setzungen auf Grund der sie exakt definierenden Begriffe vollzogenen. Nur diese letztere ist die Grundlage der unendlichen Mengen, der unendlichen Zahlen und überhaupt der Grenzprozesse in der Mathematik; die erstere ist nur ein Veranschauliehungsmittel, ohne dies eben exakt erreichen zu können, wie alle Veranschaulichungsmittel. Der letztere Prozeß gehört der Präzisionsmathematik an, während der erstere einem empirischen (erfahrungsgemäßen) Gesichtspunkt entspricht. Die Vorstellung kann niemals adäquat (d. h. für die auszuführenden Operationen gleichwertig) sein der unendlichen Menge als Ganzes, als mathematisches Individuum, das wir mathematisch behandeln, weil sie eben als tatsächliche (empirische) Vorstellung stets nur eine endliche Menge von Objekten oder Prozessen zu umfassen imstande ist. Aber diese Vorstellung gibt vermöge des Gesetzes, auf Grund dessen sie die endliche Menge erzeugt hat, einen anschaulichen Führer für die logisch definierten und zu setzenden unbegrenzten Mengen von Objekten oder Prozessen. Die Vorstellung kann das Ende dieser unbegrenzten Reihe nicht erreichen, wohl aber vermag durch die gesetzmäßige Festlegung logisch der Prozeß für weitere Betrachtungen als zu Ende geführt gedacht werden. Es kann also keine Vorstellung einer Menge dem Begriffe der unendlichen Menge jemals adäquat werden, sondern stets nur eine Annäherung an diesen ergeben. Wenn ich sage, die Gesamtheit der reellen Zahlen existiert oder diese unendliche, nicht abzählbare Menge existiert, so soll damit nicht gesagt sein, ich könne diese Zahlen in einem Bewußtseinsakt als einzelne gegenwärtig, präsent haben, denn das ist indertat unmöglich, sondern nur, daß jede Zahl vermöge der Verknüpfungsgesetze und der Rechnungsgesetze, die endlich an Zahl sind, als zu dieser unendlichen Menge gehörig völlig festgelegt ist, und insofern bedeutet die Existenz der unendlichen Menge dieser Zahlen nur, daß, welche dieser Zahlen wir auch aus dieser Menge herausgreifen mögen, jede diesen Gesetzen unterliegt, also durch sie völlig charakterisiert ist. Sie sind also, um es nochmals zu wiederholen, nicht als Einzelindividuen in ihrer Gesamtheit in einem Bewußtseinsakt vorhanden, sondern ihre Gesamtheit, also die Menge als logischer Begriff, als mathematisches Individuum durch eben diese Eigenschaften herausgelöst, und nichts anderes soll ja die Existenz der Menge bedeuten. Von dieser Frage verschieden ist dann die andere nach der Darstellbarkeit oder Vorstellbarkeit dieser einzelnen Individuen der Menge. Da kann natürlich keine endliche Anzahl von Prozessen sämtliche Zahlen liefern, sondern nur eine unbegrenzte; also z. B. bei der Dezimalbruch-Darstellung der irrationalen Zahlen die verschiedenen Möglichkeiten der Kombinationen der Zahlen a, die all Zahlen zwischen O und O bedeuten können. Aber in diesem Sinne wird ja nicht die Existenz der unendlichen Mengen mathematisch verlangt, sondern nur in dem vorhin charakterisierten Sinne. In dem eben betrachteten Sinne frägt man (bei der Dar-oder Vorstellung) nur nach dem einzelnen Individuum der Menge; die Menge als Gesamtheit dagegen ist eben durch die ihre Individuen charakterisierenden Eigenschaften, nicht durch die Dar-oder Vorstellbarkeit von den übrigen Dingen herausgehoben und daher nur nach logischem Gebrauche als Individuum abgegrenzt. Google Scholar
  20. 1).
    Satz über die Einschachtelung der Intervalle vgl. S. 384-86.Google Scholar
  21. 1).
    Vgl. G. Cantor: „Grundlagen … 1. c.; A. Schoenflies: „Die Entwicklung … 1. c.Google Scholar
  22. 2).
    Dabei wäre auch die Zusammenfassung mit jeweils allen bisherigen Punkten zur neuen Gruppe zulässig.Google Scholar
  23. 1).
    Wir haben das Wort Kurve in „“-Zeichen gesetzt, weil man nach dem eben Gesehenen den Begriff einer solchen einschränken muß. Man kann nicht schlechtweg eine unendliche, d. h. hier eine unbeschränkte Punktmenge (d. i. eine solche, deren Gesamtheit niemals erreichbar ist, so viel Punkte man auch im Moment annehmen mag, da es immer noch mehr Punkte gibt, die der Menge nicht angehören) auch eine Kurve nennen, sondern man macht dafür die Einschränkung, die durch Jordan in der nach ihm benannten Jordanschen Kurve (vgl. Jordan: „Cours d’analyse“) festgelegt ist, daß eine Punktmenge dann und nur dann als Kurve aufzufassen ist, wenn sie die Ebene in zwei Gebiete derart trennt, daß man von dem einen in das andere nur auf dem Wege gelangen kann, daß man einen Punkt der Punktmenge trifft. Die Grundlage für diese Definition bildet die Gerade mit ihren sämtlichen rationalen und irrationalen Punkten, die eine solche Gebietsteilung in der Ebene indertat hervorbringt. Im Anschlüsse hieran könnte man sich die Frage vorlegen, was unter dem Inhalt einer solchen Punktmenge, wie sie z. B. durch die von uns eingeführte überall dichte Punktmenge auf dem Kreise gegeben, verstanden werden soll, da ja der Umfang des Kreises zu 2 r π erst wird, wenn wir die ausgelassenen irrationalen Grenzpunkte hinzufügen. Indertat hat man durch geeignete Definition gefunden, daß der Inhalt einer solchen abzählbaren Punktmenge und damit auch jeder endliehen stets null ist. So würden die auf dem Intervall 0 … 1 einer Geraden Hegenden rationalen Punkte, obwohl für unsere Vorstellung schon die ganze Strecke repräsentierend, noch keinen Inhalt besitzen; erst mit den irrationalen Punkten bilden sie dann das für unsere Auffassung, was wir die Strecke 0–1, eine Strecke von bestimmtem Inhalt, d. h. von bestimmter Länge, nennen.Google Scholar
  24. 1).
    daß jede quadratische Gleichung (2. Grades) zwei Wurzeln hat, ein Spezialfall von dem viel allgemeineren, daß jede algebraische Gleichung m-ten Grades stets m Wurzeln besitzt.Google Scholar
  25. 2).
    Zum erstenmale sollen die imaginären Zahlen anno 1545 bei Cardano beiläufig bei der Lösung der kubischen Gleichung aufgetreten sein (vgl. Klein, F. Autogr. 1. c, S. 138).Google Scholar
  26. 1).
    welche Bezeichnung Gauss in einer Arbeit vom Jahre 1831 an Stelle des bis dahin für solche Zwecke gebrauchten Wortes imaginär vorschlägt (vgl. Klein, F. Autogr. 1. c, S. 143).Google Scholar
  27. 1).
    Vgl. S. 42.Google Scholar
  28. 1).
    Vgl. S. 57.Google Scholar
  29. 1).
    Schuberts Sammlung Bd. XXXV. Auf einen Umstand sei hier noch besonders aufmerksam gemacht, nämlich auf die Tatsache, daß, wie bereits betont, von einer wirklichen Vorstellung vierdimensionaler Gebilde, etwa wie wir sie vom drei-, zwei-und eindimensionalen Räume („Raum“, „Ebene“, „Gerade“) haben, natürlich keine Rede sein kann. Wie wir uns aber durch Projektion eines dreidimensionalen Körpers auf eine Ebene von diesem eine gewisse Vorstellung machen können — natürlich erst, wenn wir gelernt haben, räumliche Vorstellungen im dreidimensionalen Räume zu bilden —, so kann man auch im dreidimensionalen Räume Körper, wenn auch nicht sich vorstellen, so doch wenigstens unter gewissen Bedingungen deuten als Projektionen vierdimensionaler „Körper“. Ein wesentlicher Unterschied bleibt zwischen diesen beiden Prozessen jedoch bestehen: Im ersten Falle können wir uns aus der Projektion (auf der Ebene) etwas vorstellen (den Körper im dreidimensionalen Räume), im zweiten Falle nur gedanklich erschließen; zu einer räumlich-anschaulichen Vorstellung des vierdimensionalen Raumes kommt es keinesfalls.Google Scholar
  30. 1).
    Eine Bedeutung könnte einer Deutung der Quaternionen in einem vierdimensio-nalen Räume zukommen, wenn man sich etwa die Behandlung der Mechanik, wie sie von Minkowski 2) in seinem Aufsatze über Raum und Zeit angebahnt ist, denkt, wo die Zeit als vierte Dimension zu den dreien des gewöhnlichen Raumes eingeführt und nun versucht wird, das physikalische Geschehen auf die Beziehungen der sog. Weltlinien einzelner Punkte zurückzuführen, wobei diese Weltlinien die Bahnen der Punkte im vierdimensionalen Räume sind, die also von den vier Koordinaten, den drei Raum-koordinaten und der Zeitkoordinate, abhängen. Für nähere Ausführungen, insbesondere die Frage nach der allgemeinsten Dreh-streckung im vierdimensionalen Räume vgl. F. Klein: „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus.“ Autogr. v. E. Hellinger. Leipzig 1908, S. 158ff. — Cayley: „Collected mathematical papers.“ Vol. II. Cambridge 1889, p. 133ff.Google Scholar
  31. 2).
    Hermann Minkowski: „Raum und Zeit“, Vortrag gehalt. a. d. 80. Naturforsch.-Vers, zu Köln am 21. Sept. 1908; erschienen Sept. 1909 bei B. G. Teubner, Leipzig.Google Scholar
  32. 1).
    Näheres hierzu vgl. Klein-Sommerfeld: „Theorie des Kreisels,“ Heft 1.Google Scholar
  33. 1).
    Es ist nämlich jener Punkt, der von 0 eine Entfernung dem Zahlenwerte nach gleich dem Flächeninhalt des Parallelogrammes hat, wie die Umkehrung obiger Betrachtung lehrt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1913

Authors and Affiliations

  • W. Koestler
    • 1
  • M. Tramer
    • 2
  1. 1.BurgdorfDeutschland
  2. 2.ZurichSchweiz

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