Algebraische Komplexe

Zusammenfassung

Die Auffassung der Mannigfaltigkeit als eines Polyeders hat etwas Künstliches: die allgemeine Idee der Mannigfaltigkeit, als eines homogenen n-fach ausgedehnten Gebildes, eine Idee, die noch auf Riemann zurückgeht, hat eigentlich mit den Simplizialzerlegungen, die uns zur Einführung der Polyeder diente, nichts zu tun. Poincaré, der als erster ein systematisches topologisches Studium der Mannigfaltigkeiten unternommen und dadurch die Topologie aus einer Sammlung mathematischer Kuriosa zu einem selbständigen und bedeutungsvollen Zweig der Geometrie gemacht hat, definierte die Mannigfaltigkeiten ursprünglich analytisch mit Hilfe eines Systems von Gleichungen. Aber schon innerhalb von vier Jahren nach dem Erscheinen seiner ersten bahnbrechenden Arbeit¹⁰ stellt er sich auf den Standpunkt, der heutzutage als der kombinatorische bezeichnet wird und im wesentlichen auf die Auffassung der Mannigfaltigkeiten als Polyeder hinauskommt¹¹. Die Vorteile dieses Standpunktes bestehen darin, daß mit seiner Hilfe die schwierigen — teils rein geometrischen, teils mengentheoretischen — Betrachtungen, zu denen das Studium der Mannigfaltigkeiten führt, durch die Untersuchung eines finiten kombinatorischen Schemas — nämlich des Systems der Simplexe einer Simplexzerlegung des Polyeders, mit anderen Worten: des geometrischen Komplexes — ersetzt werden, welche den Weg zur Anwendung algebraischer Methoden eröffnet.