Strom- und Spannungsverteilung bei langen Leitungen

Zusammenfassung

In dem Falle zweier parallelen Drähte oder eines Zweileiterkabels und allgemein in allen Fällen, die sich durch „Betriebswerte“nach Abschnitt 3 des vorigen Kapitels darstellen lassen, gelten für den Betriebsstrom J und die Betriebsspannung V im Abstand x vom Ende der Leitung¹) die schon auf Seite 418 gegebenen Differentialgleichungen:

$$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial J}}{{\partial x}} = \left( {C\frac{\partial }{{\partial t}} + A} \right)V,} \\ {\frac{{\partial V}}{{\partial x}} = \left( {L\frac{\partial }{{\partial t}} + R} \right)J,} \\ \end{array} } \right\}$$

(1)

wobei C die Kapazität, A die Ableitung, L die Induktivität, R der Widerstand für die Längeneinheit sind und der Abstand x positiv in Richtung wachsender Energie zu nehmen, also vom Ende 2 der Leitung zu zählen ist. Wird an irgend einer Stelle der Leitung eine einfache Schwingung erregt, so folgt aus der linearen Form der Gleichungen, daß Strom und Potential in der ganzen Leitung als Sinusschwingungen verlaufen. Aus dem symmetrischen Bau der Gleichungen folgt, daß die Lösungen für J und V sich nur durch die Grenzbedingungen unterscheiden können. Differenziert man partiell nach x so erhält man nach Einsetzung der Werte für $\frac{{\partial V}}{{\partial x}}$ und $\frac{{\partial J}}{{\partial x}}$ aus (1) die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung:

$$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial^2}J}}{{\partial {x^2}}} = \left( {C\frac{\partial }{{\partial t}} + A} \right)\frac{{\partial V}}{{\partial x}} = {m^2}J,} \\ {\frac{{{\partial^2}V}}{{\partial {x^2}}} = \left( {L\frac{\partial }{{\partial t}} + R} \right)\frac{{\partial J}}{{\partial x}} = {m^2}V,} \\ \end{array} } \right\}$$

(2)

worin m ² den Differentialoperator

$$ {m^2} = \left( {C\frac{\partial }{{\partial t}} + A} \right)\left( {L\frac{\partial }{{\partial t}} + R} \right) = CL\frac{{{\partial^2}}}{{\partial {t^2}}} + \left( {AL + CR} \right)\frac{\partial }{{\partial t}} + AR $$

(3)

bedeutet.