Allgemeine Sätze und Formeln für die Lösung von Operatorengleichungen

Zusammenfassung

Wir haben gesehen, daß die Operatorengleichung

$$ h = \frac{1} {{H(p)}} $$

eine symbolische oder abgekürzte Schreibweise der Integralgleichung

$$ \frac{1} {{H(p)}} = \int\limits_0^\infty {h(t)\;{e^{ - pt}}dt} $$

((1))

ist. Aus dieser Integralgleichung hatten wir zwei wichtige Formen der Heavisideschen Lösung: die Potenzreihenentwicklung und die Partialbruchzerlegung abgeleitet. Wir hatten gezeigt, daß beide Darstellungen gleichwertig sind, und es hatte sich hieraus die Begründung der Operatorenrechnung auf deduktivem Wege an Stelle der induktiven Schlußweise ergeben. Im vorliegenden Kapitel wollen wir die Äquivalenz der beiden Gleichungen dazu verwenden, einige allgemeine Lehrsätze und Formeln für die Lösung der Operatorengleichungen zu gewinnen. Denn wir können aus jeder möglichen Lösung der Integralgleichung einer Lösung der Operatorengleichung ableiten. Insbesondere werden wir also die Zeitfunktion als gegeben annehmen und dann mit Hilfe der Integralgleichung zwangsläufig die Lösung der zugehörigen Operatorengleichung erhalten.