Zusammenfassung
Ein System von verschiedenen Elementen bildet eine Gruppe, wenn folgende vier Postulate erfüllt sind:
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I. Das Gruppengesetz
Jedem geordneten Paar von gleichen oder verschiedenen Elementen des Systems ist eindeutig ein Element desselben System zugeordnet, das Produkt der beiden Elemente. Die Formel dafür ist: AB = C.
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II. Das Assoziativgesetz
Für die Produktbildung gilt die Gleichung: (AB) C = A(BC). Nicht verlangt wird jedoch das Kommutativgesetz AB = BA.
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III. Das Einheitselement
Es gibt ein Element E, das für jedes Element A des Systems folgendem Gesetz gehorcht: AE = EA = A. E heißt das Einheitselement oder die Einheit der Gruppe.
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IV. Das inverse Element
Zu jedem Element A gibt es ein inverses Element X = A -1, das der Gleichung genügt: AX = E. Eine Gruppe, bei der alle Elemente in der Bildung des Produktes miteinander vertauschbar sind, heißt eine kommutative oder Abelsche Gruppe. Ist die Anzahl der Elemente endlich, so heißt die Gruppe eine endliche Gruppe. Die Anzahl der Elemente heißt die Ordnung der Gruppe.
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Literature
On the theory of groups as depending on the symbolical equation ϑ n = 1. Philos. Mag. (4) Bd. 7 (1854), S. 40–47. The collected Math. papers of A. Cayley Bd. 2, S. 123–130.
Lagrange, J. L.: Réflexions sur la resolution algébrique des équetions, 1771 (Œuvres Bd. 3, S. 205–421).
Euler, L.: Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta, 1761. Opera omnia I 2, S. 504. Eine deutsche Übersetzung des für diesen Algorithmus wichtigen Teils dieser Abhandlung findet sich in A. Speiser: Klassische Stücke der Mathematik, S. 110. Zürich 1925.
Vgl. F. Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5. Grade. Leipzig 1884.
Vgl. hierzu den zweiten Aufsatz der Einleitung.
Vgl. das Zitat in der Anm. auf S. 12.
Über endliche Gruppen. Berl. Sitzungsber. 1895, S. 163.
Thomsen, G.: Grundlagen der Elementargeometrie, S. 25. Leipzig 1933.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Speiser, A. (1927). Die Grundlagen. In: Die Theorie der Gruppen von Endlicher Ordnung. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 5. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-90855-2_2
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