Zusammenfassung

Um den Übergang von den gewöhnlichen Koordinaten zu den projektiven auszuführen, nimmt man zweckmäßig eine rechnerische Vervollkommnung des analytischen Apparats vor; sie besteht in der homogenen Darstellung der Koordinatenwerte. Statt der Größen x, y führen wir zunächst drei Größen x′, y′, z′ so ein, daß ihre Verhältnisse den Punkt P(x, y) in derselben Weise festlegen, wie es x und y selber tun. Dazu setzen wir
$$x = \frac{{x'}}{{z'}},\quad y = \frac{{y'}}{{z'}}\quad also\quad x:y:1{\text{ = }}x':y':z',$$
(1)
dann soll jedes solche Wertsystem x′, y′, z′ ein Tripel homogener Koordinaten des Punktes (x, y) heißen. Einem Tripel x′, y′, z′ (mit z′ ≷ 0) entspricht ein Wertepaar x, y, also ein Punkt P; einem Punkt P entsprechen aber jetzt unendlich viele gleichberechtigte Zahlentripel x: y: z. die sämtlich in demselben Verhältnis zueinander stehen; jedes geht aus irgendeinem durch Multiplikation mit einem Proportionalitätsfaktor hervor. Dem Punkt x = 2, y = -3 kommt sowohl das Tripel 2, -3, 1, wie 4, -6, 2 oder -40, 60, -20 usw. zu; man kann also allgemein
$$x' = \rho x,\quad {\text{ }}y' = \rho y,\quad {\text{ }}z' = \rho .1$$
(1a)
setzen, wo ϱ der Proportionalitätsfaktor ist.

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Copyright information

© Julius Springer in Berlin 1925

Authors and Affiliations

  • A. Schoenflies
    • 1
  1. 1.Universität FrankfurtDeutschland

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