Linienkoordinaten und Dualität

Zusammenfassung

Wie der Punkt, so kann auch die Gerade durch ein Zahlenpaar geometrisch bestimmt werden (Linienkoordinaten). Den Punkt faßten wir (S. 12) als Schnitt zweier Geraden auf, und jede dieser beiden Geraden lieferte uns eine der beiden Koordinaten. Analog führen wir eine Gerade als Verbindungslinie zweier Punkte ein, nämlich ihrer Schnittpunkte mit den Achsen. Ihnen entspricht je ein Achsenabschnitt a und b; an sich könnte also dieses Zahlenpaar die Koordinaten der Geraden liefern. Wir wählen aber nicht a und b selbst, sondern ihre negativen reziproken Werte

$$u =- \frac{1}{a},\quad v =- \frac{1}{b};$$

((1))

von a = 0, b = 0 wird zunächst abgesehen, ebenso in (1a) von C = 0¹). Zweckmäßigkeit und Notwendigkeit werden sich alsbald ergeben. Die Gerade, die den Koordinaten u = 1, v = -1/4 entspricht, schneidet also auf den Achsen die Abschnitte a = -1, b = 4 ab und ist so bestimmt. Die geometrische Vorschrift, die dem Koordinatenbegriff der Geraden zugrunde liegt, ist damit evident. Die Achsen können beliebige Lage und Richtung haben.