Kollineare und reziproke Verwandtschaft

Zusammenfassung

Zwischen den Punkten (x) und (x′) zweier Ebenen ε und ε′ (ebene Felder) möge die lineare Substitution nicht verschwindender Determinante

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\varrho \prime x_1^\prime = {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + {a_{13}}{x_3}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\varrho \prime x_2^\prime = {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + {a_{23}}{x_3};}&{\Delta = \left\| {{a_{ik}}} \right\| \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel>\over {\smash{\scriptstyle<}\vphantom{_x}}$}} 0} \end{array}}\\ {\varrho \prime x_3^\prime = {a_{31}}{x_1} + {a_{32}}{x_2} + {a_{33}}{x_3}} \end{array}} \right.$$

(1)

bestehen. Sie ordnet jedem Tripel x _i ein Tripel x′ _i zu, also jedem Punkt P von ε einen Punkt P′ von ε′. Wegen Δ ≷ 0 lassen sich die Gleichungen (1) nach den x _i auflösen, es entspricht also auch jedem Punkt P′ ein Punkt P. Die auflösenden Gleichungen lauten (Anhang 34 b)

$$\begin{array}{*{20}{c}} {\varrho {x_i} = {A_{1i}}x_1^\prime + {A_{2i}}x_2^\prime + {A_{3i}}x_3^\prime ;}&{i = 1,2,3.} \end{array}$$

(1a)

. Aus dem linearen Charakter der Substitution folgt, daß einer Gleichung ersten Gradens in den x _i einer Geraden g′ von ε′¹). Es überträgt sich daher auch die Bedingungsgleichung für die vereinigte Lage; ist für einen Punkt (x) und eine Gerade (u) die Gleichung

$$\sum {{u_i}{x_i} = {u_1}{x_1} + {u_2}{x_2} + {u_3}{x_3}} = 0$$

(2)

erfüllt, so ist auch für den Punkt (x′ _i ) und die Gerade (u′)

$$\sum {u_i^\prime x_i^\prime = u_1^\prime x_1^\prime + u_2^\prime x_2^\prime + u_3^\prime x_3^\prime } = 0$$

(2a)

.