Einiges über Determinanten

Zusammenfassung

Es sei die Aufgabe gestellt, Lösungen der beiden simultanen linearen Gleichungen:

$$ {a_{1}}x + {b_{1}}y = 0\quad {a^{2}}x + {b_{2}}y = 0 $$

((1))

zu finden. Multiplizieren wir die erste Gleichung mit b ₂, die zweite mit b ₁ und subtrahieren, so finden wir:

$$ x\left( {{a_{1}}{b_{2}} - {a_{2}}{b_{1}}} \right) = 0 $$

((2))

auf gleiche Weise erhalten wir:

$$ y({a_{2}}{b_{1}} - {a_{1}}{b_{2}}) = 0 $$

((3))

Die beiden Gleichungen (2) und (3) liefern entweder: x = y = 0 oder:

$$ {a_{1}}{b_{2}} - {a_{2}}{b_{1}} = 0 $$

((4))

d. h. die Gleichungen (1) liefern nur dann von null verschiedene Lösungen, wenn die Bedingung (4) erfüllt ist. Die gegebenen Gleichungen stellen zwei Gerade dar, die durch den Koordinatenursprung gehen. Die geometrische Anschauung ergibt, daß sie bei beliebiger Neigung gegen die Abszissenachse nur den Ursprung miteinander gemein haben können; sollen sie irgend einen anderen Punkt gemeinsam haben, so müssen sie überhaupt zusammenfallen.