Reihenentwicklungen der mathematischen Physik

Zusammenfassung

Die in diesem Abschnitt über orthogonale Funktionen-systeme betrachteten reellen Funktionen reeller Veränderlichen sollen in einem Grundgebiet G definiert und dort stückweise stetig sein. Das Grundgebiet G sei für Funktionen einer Veränderlichen ein Intervall der X-Achse, für solche zweier Veränderlichen soll es von einer stückweise glatten (vgl. Kap. 1, Ziff. 12) Kurve begrenzt sein. Manchmal wird es notwendig sein, auch stückweise stetige erste Ableitungen der Funktionen (also sog. stückweise glatte Funktionen) vorauszusetzen. Wir definieren das innere Produkt (f, g) zweier Funktionen f (x) und g (x) durch

$$\left( {f,g} \right) = \smallint fgdx$$

(1)

, wo das Integral über das Grundgebiet G erstreckt ist. Es genügt der Schwarzschen Ungleichung

$${\left( {f,g} \right)^2} \leqq \left( {f,f} \right)\left( {g,g} \right)$$

(2)

; das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn f und g einander proportional sind.