Zusammenfassung
Die Endlösung einer mathematischen Aufgabe, speziell Beweisaufgabe, hat die Form „etwas (hier nicht mehr zu Beweisendes), woraus das Behauptete folgt“. Auch bei solchen mathematischen Problemen wird die Lösung typisch nicht in einem, sondern in mehreren sukzessiven Schritten erreicht. Uns interessieren auch hier wieder vor allem die heuristischen Methoden, die dem Denken — aus der Natur der Sache heraus — für die Findung der Lösungsphasen zu Gebote stehen.
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Referenzen
„Ziel“ heißt hier natürlich nicht wie früher „praktisches Ziel“, sondern das, was eingesehen, was bewiesen werden soll. Zielanalyse ist also genau genommen „Behauptungsanalyse“.
Damit soll nicht etwa behauptet werden, daß so etwas — z. B. bei routinierten Mathematikern — nicht vorkommen könnte. Uns interessiert nur, daß es den anderen Weg gibt, und daß er, wie sich noch zeigen wird, ein typischer Weg der Lösungsfindung ist.
Das geschah unter jenen 45 Vpn bei allen, die überhaupt zur Lösung gelangten, nämlich bei 9. (Die 35 Vpn aus den Massenversuchen hatten nicht viel Zeit zur Lösung der Aufgabe, etwa 5 Minuten.)
Vgl. Max Wertheimer, Über Schlußprozesse im produktiven Denken.
In einem der drei Massenversuche fungierten als Vpn 63 Teilnehmer eines psychologischen Anfängerpraktikums an der Berliner Universität. In den beiden anderen Massenversuchen handelt es sich um Primanerinnen eines Real- und eines Humanistischen Gymnasiums (53 Vpn). In den uns interessierenden Ergebnissen stimmen alle drei Massenversuche miteinander überein.
G. Katona, Eine kleine Anschauungsaufgabe, Psychol. Forsch., Bd. 9.
Die von Katona für die Schwierigkeit der Aufgabe in erster Linie verantwortlich gemachte optische Täuschung, bestehend in einer Dehnung der Quadrate in der Längsrichtung, läßt sich eliminieren, ohne daß die Aufgabe dadurch wesentlich leichter würde.
Zwei Vpn konnten sich übrigens trotz dieser „theoretisch“ klaren Lösung nicht anschaulich klar vorstellen, wie die Teile sich zu einem ganzen Tetraeder wirklich zusammenschließen. Irgendwo klaffte es immer.
Diese Übereinstimmung zwischen den beiden bisherigen Aufgaben ist kein Zufall. Dieselben Verhältnisse konnte ich noch bei anderen der zwölf (aus ganz verschiedenen Gebieten stammenden) math. Aufgaben feststellen, mit denen ich Versuche gemacht habe. Es scheint hier wirklich Typisches getroffen zu sein.
Sonst kamen noch einige Voraussetzungsexplikationen vor. Z. B. 2/26 Vpn explizierten mit Hilfe des Nebenwinkelsatzes (angewendet auf Dreieck ADF) an der Figur herum, 2/26 wollten die rechtwinkligen Dreiecke verwenden.
Falscher Satz! Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist Mittelpunkt des Inkreises.
Hier wird die Rechnung wieder mit einem falschen Satz bestritten. Der Schnittpunkt der Höhen ist keineswegs Mittelpunkt des Inkreises.
Vgl. Kap. VIII.
Abgesehen von dem oben erwähnten Massenversuch stellte ich die Höhenaufgabe 5 Vpn in Einzel versuchen.
Vgl. die Anregung des „Teiler-Satzes“ durch den Aspekt „die Zahlen sind ja durch 1001 teilbar“ (S. 38), oder die Anregung des Satzes: „Sind zwei Größen einer dritten gleich, so... “, durch den Aspekt γ = 8 (S. 45).
Diese „Ergänzungen“ können natürlich ihrerseits wieder Prozesse vom Typus des ganzen Prozesses sein, also ihrerseits wieder in jene beiden Abschnitte zerfallen.
Ich stellte die obige Aufgabe 3 Vpn, von denen zwei Mathematiker waren. Keiner kam während des Versuchs auf besagte Zielexplikation, es wurden statt dessen alle möglichen fruchtlosen Explizierungen unternommen. Eine Vp nahm die Aufgabe mit nach Hause und brachte mir nach einigen Tagen den obigen Beweis.
Vgl. Rademacher und Töplitz. Von Zahlen und Figuren, S. 20. Man „spiegelt“ den Punkt B und die Strecken BC und BD an g. Wegen der Spiegelung sind die Dreiecke CBE und CB′E kongruent, also (math)BCE = (math) B′CE, also auch (math) BB′CE = (math) gCA, d. h. Scheitelwinkel. Also ist ACBB′ die gradlinige Verbindung von A und B′ und folglich kürzer als ADB′.
Als „Konfliktanalyse“ tritt sie bei mathematischen Aufgaben etwas zurück.
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Duncker, K. (1974). Über Lösungsprozesse bei mathematischen Problemen. In: Zur Psychologie des produktiven Denkens. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88750-5_3
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