Das Nichtverschwinden der L-Reihen

Zusammenfassung

Der noch zu erbringende Beweis dafür, daß für jeden Restklassencharakter χ≠ ε die eigentliche L-Reihe

$$ L(1|\chi )=\sum\limits_{n}{\frac{\chi (n)}{n}}\ne 0 $$

ist, kann auf mannigfache Weise geführt werden. Entweder kann man, wie bisher, allein mit elementaren Hilfsmitteln aus der reellen Analysis arbeiten; dann läuft der Beweis auf einigermaßen komplizierte Rechnungen und Abschätzungen hinaus. Einen solchen elementar-analytischen Beweisgang, der auf Mertens zurückgeht, werden wir hier zunächst durchführen, und zwar wählen wir die vom algebraischen Standpunkt aus durchsichtigste unter mehreren zur Verfügung stehenden Varianten¹. Oder aber man kann tieferliegende Hilfsmittel heranziehen, und zwar entweder aus der komplexen Funktionentheorie oder aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper; dadurch wird der Beweis vom analytischen bzw. arithmetischen Standpunkt aus erst völlig durchsichtig. Diese von dem einen bzw. anderen Standpunkt aus organischen Beweismethoden werden wir im Anschluß an den elementar-analytischen Beweis überschauend besprechen. Für eine von ihnen, nämlich die von Dirichlet selbst in seiner klassisch gewordenen Arbeit² aus dem Jahre 1837 verwendete, werden wir die erforderlichen Hilfsmittel aus der Theorie der quadratischen Zahlkörper im vierten Abschnitt entwickeln.