Zusammenfassung
Die Weierstraßsche Kritik, die wir in Kap. III dargelegt haben, schien sich zunächst nur insofern rein negativ auszuwirken, als eine Berufung darauf, daß ein Problem als Variationsproblem dargestellt werden kann, noch nicht die Existenz einer analytischen Lösung einer Randwertaufgabe gewährleistet.
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Anmerkungen
Zu Kapitel VII [1, §1]
(*) Hilbert, D. : Über das Dirichletsche Prinzip. J. reine angew. Math. 129, 63–67 (1905). (Ges. Abh., Bd. III, S. 11. Berlin : Springer 1935.)
(**) Hilbert, D. : Mathematische Probleme. Vortrag auf dem Internationalen Mathematiker Kongreß zu Paris 1900, Problem Nr. 20. (Ges. Abh., Bd. Iii, S. 322. Berlin : Springer 1935.)
(***) Hilbert, D. : Über das Dirichletsche Prinzip. Math. Ann. 59, 161–186 (1904). (Ges. Abh., Bd. III, S. 15–37. Berlin : Springer 1935.)
(°) Tonelli, L. : Fondamenti di calcolo delle variazioni, Bd. I 1921, Bd. Ii 1923. Bologna : Nicola Zanichelli.
(°°) Lebesgue, H.: Sur le problème de Dirichlet. Rend. Circ. mat. Palermo 24, 371–402 (1907).
(°°°) Über die Berechtigung diesen Satz mit B. Bolzano zu verbinden vgl. die Anmerkung zu § 20 in:
Bolzano, B. : Schriften. Herausgegeben von der königl. böhmischen Ges. der Wiss., Bd. 1 , Functionenlehre. Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von K. Rychlik, Prag 1930.
(+) Vgl. z. B. für diesen und auch für weitere hier verwendete Begriffe der Funktionalanalysis : Ljusternik, L. A., u. W. I. Sobolew : Elemente der Funktionalanalysis, S. 35. Berlin: Akademie-Verlag 1955.
Zu Kapitel VII [1, §2]
(*) Vgl. die Anmerkung (°) zum vorhergehenden Paragraphen.
(**) Vgl. die Anmerkung (*) zu Kapitel II, 1, § 2.
(***) Lebesgue, H., : Intégrale, longueur, aire. Ann. di Mat., Ser. IIIa 7, 231–358 (1902).
Zu Kapitel VII [1, §3]
(*) Courant, R. : Dirichlet’s principle, conformal mapping and minimal surfaces. New York : Interscience Publishers Inc. 1950.
Courant, R., u. D. Hilbert : Methoden der mathematischen Physik, Bd. 2. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. Xlviii), 1. Aufl. Berlin: Springer 1937.
(**) Lewy, H. : Über die Methode der Differenzengleichungen. Math. Ann. 98, 107–124 (1928).
Mcshane, E. J. : Some existence theorems in the calculus of variations. Trans. Amer. Math. Soc. 44, 429–453 (1938).
Ferner vgl. auch Kantorowitsch, L. W., u. W. I. Krylow : Näherungsmethoden der höheren Analysis. Berlin : Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften 1956 und die dort angegebene Literatur.
(***) Dazu ist vor allem zu bemerken, daß wir bei der Herleitung der Euler- Lagrangeschen bzw. der Du Bois Reymondschen Gleichung die wesentliche Voraussetzung gemacht haben, daß die Lösung in einem offenen Bereich liegt. D. h. wir haben weder für den Wertverlauf der Lösung noch ihrer Ableitungen Schranken vorgegeben. Wir konnten so stets die Voraussetzung machen, daß die Lösung so in eine Schar von Verglcichskurven einbettbar ist, daß sie — ausgenommen allenfalls Anfangs- und Endpunkt — nirgends am Rand des von der Schar eingenommenen Bereichs liegt. Läßt man diese Voraussetzung fallen, d. h. ist der Bereich für die Lösung zumindest teilweise abgeschlossen, dann kann die Lösungskurve auch zum Teil längs der Berandung verlaufen. Längs dieses Teils erfüllt die Lösung anstelle der Lagrangeschen bzw. Du Bois Reymondschen Gleichung nur entsprechende Ungleichungen. Vgl. hierzu etwa die ausführliche Darstellung bei Bolza, O. : Vorlesungen über Variationsrechnung. B. G. Teubner, Leipzig, 1909, S. 392 ff.
Dieses Verhalten ist analog zu dem etwa einer monotonen differenzierbaren Funktion einer Veränderlichen in einem abgeschlossenen Intervall. In den Endpunkten des Intervalls, in denen die Funktion ihre Extremalwerte annimmt, existieren nur die rechts- bzw. linksseitigen Ableitungen der Funktion, die dort wegen der vorausgesetzten Monotonie nicht verschwinden.
Bei Extremalaufgaben, bei denen die Lösung den einschränkenden Bedingungen (7) und (8) genügen soll, kann die das Extremum liefernde Lösung — je nach den Randbedingungen — teilweise oder zur Gänze durch das Gleichheitszeichen in diesen Bedingungen gekennzeichnet sein, ohne dann Extremale zu sein bzw. der Du Bois Reymondschen Gleichung zu genügen.
(+) Maxwell, J. Cl.: On a problem in the calculus of variations in which the solution is discontinous. Proc. Cambridge Phil. Soc. 2, 294–295 (1876).
(°) Carathéodory, C., anläßlich der Besprechung von A. R. Forsyth’s : Calculus of variations, in: Math. Gazette 16, 310–311 (1928/29). Vgl. auch
Carathéodory, C. : Ges. Math. Schriften, Bd. V, S. 345–349. München: Becksche Verlagsbuchhandlung 1957.
(°°) Die Fig. 56 wurde dem Werk: Szabó, I. : Höhere Technische Mechanik, Berlin : Springer 1956, S. 347, entnommen. Vgl. im übrigen auch:
Haar, A., u. Th. v. Karm An : Zur Theorie der Spannungszustände in plastischen und sandartigen Medien. Göttinger Nachr., math.-phys. Kl. 1909, S. 204–218.
Zu Kapitel VII [1, §4]
(*) Hamel, G. : Über die erzwungene Schwingung bei endlichen Amplituden. Math. Ann. 86, 1–13 (1922).
(**) Duffing, G. : Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung. Braunschweig: Vieweg 1918.
Zu Kapitel VII [2, §1]
(*) Ritz, W. : Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. J. reine angew. Math. 135, 1–61 (1908).
Vgl. ferner auch: — Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben. Göttinger Nachr., math.-phys. Kl. 1908, S. 236–248.
— Theorie der Transversalschwingungen. Ann. d. Phys., IV. F. 28, 737ff. (1909).
Plancherel, M. : Sur la methode d’intégration de Ritz. Bull. Sci. Math. (Darboux), Sér. II 47, 376 — 383, 397 — 412 (1923) und 48, 12 — 48, 58 — 80, 93 — 109 (1924) .
(**) Wir erwähnen insbesondere :Hohenemser, K. : Die Methoden zur angenäherten Lösung von Eigenwertproblemen in der Elastokinetik. In : Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Bd. I, H. 4. Berlin : Springer 1932.
(***) Trefftz, E. : Die Bestimmung der Knicklast gedrückter, rechteckiger Platten. Z. angew. Math. Mech. 15, 339ff. (1935) ; 16, 64 ff. (1936).
Weinstein, A. : On the symmetries of the solutions of certain variational problems. Proc. Cambridge Phil. Soc. 32, Part. 1, 96–101.
(°) Vgl. insbesondere : Collatz, L. : Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Leipzig: B. G. Teubner 1949.
Zu Kapitel VII [2, §2]
(*) Für die erste der hier in Frage stehenden Abhandlungen vgl. Iglisch, R.: Zur Theorie der Schwingungen. Mh. Math. Phys. 37, 325–342 (1930).
Zu Kapitel VII [2, §3]
Collatz, L.: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Berlin : Springer 1949.
(**) Hilbert, D., u. R. Courant : Methoden der mathematischen Physik, Bd. I, Reihe „Grundlehren der mathematischen Wissenschaften“, Bd. Xii, 1. Aufl. Berlin : Springer 1924.
(***) Strutt, J. W., Lord Rayleigh : Die Theorie des Schalles, Bd. I. Übersetzt von Dr. F. Neesen. Braunschweig : F. Vieweg & Sohn 1880.
(°) Funk, P. : Bemerkungen zur praktischen Berechnung des kleinsten Eigenwertes. Hdi-Mitt. des Hauptvereines deutscher Ingenieure in der Tschechoslowakischen Republik 1931, H. 21/22.
In dieser Arbeit werden auch obere und untere Schranken für den kleinsten Eigenwert der schwingenden elliptischen Membran in Abhängigkeit von der Exzentrizität abgeleitet.
Im Anschluß daran sei auf die Methode von R. Grammel hingewiesen. Um kurz deren Grundgedanken zu skizzieren, bemerken wir : Die Methode des schwachvariablen Quotienten für den ersten Eigenwert (vgl. Kapitel II, 2, § 6, S. 192) kann man mit der Methode des Rayleighschen Quotienten so in Verbindung bringen, daß man Zähler und Nenner des schwach-variablen Quotienten mit dem Nenner multipliziert und hierauf Zähler und Nenner integriert. Bei Grammel wird hingegen Zähler und Nenner des schwach variablen Quotienten mit dem Zähler multipliziert und hierauf integriert. Bei der Grammelschen Methode ist der Näherungswert für den Eigenwert bei der gleichen Anzahl von Näherungsschritten schlechter als bei Rayleigh, aber die Ermittlung erfordert oft eine viel geringere Rechenarbeit. Vgl.
Biezeno-Grammel : Technische Dynamik. Berlin : Springer 1939.
Grammel, R. : Über die Lösung technischer Eigenwertprobleme. Forsch.-H. a. d. Gebiet d. Stahlbaues, H. 6, Berlin 1943.
(°°) Funk, P., u. W. Glaser : Die Berechnung elektronenoptischer Konstanten als Eigenwertproblem. Z. Physik 102, 603–610 (1936).
Zu Kapitel VII [2, § 4]
(*) Hilbert, D., u. R. Courant : Methoden der mathematischen Physik, Bd. I. Reihe „Grundlehren der mathematischen Wissenschaften“, Bd. Xii, 1. Aufl. Berlin: Springer 1924.
(**) Courant, R. : Über die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen Physik. Math. Z. 7, 1–57 (1920).
Zu Kapitel VII [2, §5]
(*) Schaefer, H. : Angenäherte Berechnung des kleinsten Eigenwertes zusammengesetzter Systeme. Z. angew. Math. Mech. 14, 367 (1934).
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Funk, P. (1970). Die direkten Methoden der Variationsrechnung. In: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 94. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88597-6_7
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