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Zusätze zur Theorie der Variationsprobleme mit mehreren Veränderlichen

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Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik

Part of the book series: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ((GL,volume 94))

  • 147 Accesses

Zusammenfassung

Variationsprobleme in mehrdimensionalen Räumen, also insbesondere Probleme mit einer unabhängigen und mehreren abhängigen Veränderlichen:

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((1))

haben wir bisher mit Methoden behandelt, bei denen sich bei der Übertragung der Ergebnisse, die bei Problemen mit nur einer abhängigen Veränderlichen gewonnen wurden, keine Schwierigkeiten ergeben haben. Bei der Übertragung des Hilbertschen Unabhängigkeitssatzes tritt aber ein völlig neuer Gesichtspunkt auf.

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Anmerkungen

Zu Kapitel VI [1, § 2]

  • Radon, J.: Bewegungsinvariante Variationsprobleme, betreffend Kurvenscharen. Hamburger Abh. 12, 70—82 (1938).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  • Eine schöne Darstellung des von Lagrange beschrittenen Weges findet man im Enzyklopädieartikel (Enzykl. d. Math. Wiss. Iv, 12 und 13) „Die allgemeinen Integrationsmethoden der analytischen Mechanik&#x201C von Georg Prange.

    Google Scholar 

  • Dort findet man auch den Zusammenhang mit den Poissonschen Klammerausdrücken. Wir beschränken uns hier darauf zu sagen, daß Lagrange vom Dreikörperproblem ausging. Es handelt sich dabei darum, für die Integrationskonstanten des Zweikörperproblems, aufgefaßt als langsam veränderliche Variable (gestörtes Problem) die Differentialgleichung des Dreikörperproblems in übersichtlicher Weise zu gewinnen. Ähnlich gelangt auch Poisson zu seinen Klammerausdrücken. Während sich Lagrange jedoch die Lösungen des Zweikörperproblems explizit nach der Zeit aufgelöst denkt, behandelt sie Poisson allgemeiner als implizit gegebene Funktionen.

    Google Scholar 

  • Erst viel später kommt Jacobi, wieder auf ganz anderem Weg, nämlich bei Behandlung der Theorie der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung auf die Poissonschen Klammerausdrücke. (Vgl. etwa auch Caratheodory, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. B. G. Teubner 1935, insbesondere § 44 bis 46.)

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Zu Kapitel VI [2, § 1]

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Zu Kapitel VI [2, § 2]

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  • (°°) Die Feldgleichungen der relativistischen Theorie des nichtsymmetrischen Feldes wurden von A. Einstein in der dritten Auflage seines Buches „The Meaning of Relativity“;, deren deutsche Übersetzung unter dem Titel „Grundzüge der Relativitätstheorie“;, F. Vieweg u. Sohn, Braunschweig 1956 erschienen ist, ebenfalls in der hier dargelegten Weise hergeleitet. Da Invarianz gegenüber einer G∞5 besteht, gibt es entsprechend fünf identische Relationen. Die G∞5 kann als die Vereinigung der allgemein relativistischen Koordinatentransformation mit der Eichgruppe der Maxwellschen Theorie interpretiert werden. Letzteren Hinweis verdanke ich Herrn Prof. Dr. H. Treder.

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  1. Paul Funk
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Funk, P. (1970). Zusätze zur Theorie der Variationsprobleme mit mehreren Veränderlichen. In: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 94. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88597-6_6

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