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Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik pp 253–329Cite as

Probleme mit Nebenbedingungen

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Part of the book series: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ((GL,volume 94))

Zusammenfassung

Schon im ersten Kapitel (I, 1, § 2) haben wir gesehen, daß sich Euler mit Problemen mit Nebenbedingungen beschäftigt hat, ja sogar schon früher, bei Leibniz, traten solche Probleme auf (Kettenlinie). Lagrange hat versucht, die allgemeinste Problemstellung dieser Art zu formulieren. Seine Formulierung lautet folgendermaßen :

  • Es sollen diejenigen Funktionen

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    ((1))

    einen möglichst kleinen (großen) Wert erteilen, wobei die Funktionen noch den m voneinander unabhängigen Nebenbedingungen

    EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOXdO2aaS % baaSqaaiabeg7aHbqabaGcdaqadaqaaiaadIhacaGGSaGaamyEamaa % BaaaleaacaaIXaaabeaakmaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaai % aacYcacaGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGSaGaamyEamaaBaaaleaacaWG % UbaabeaakmaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiaacYcacaWG5b % Waa0baaSqaaiaaigdaaeaacaGGNaaaaOWaaeWaaeaacaWG4baacaGL % OaGaayzkaaGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaacYcacaWG5bWaa0 % baaSqaaiaad6gaaeaacaGGNaaaaOWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGa % ayzkaaaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaaGimaiaaywW7daqadaqaai % abeg7aHjabg2da9iaaigdacaGGSaGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaaiil % aiaad2gacaGG7aGaaGjbVlaad2gacqGH8aapcaWGUbaacaGLOaGaay % zkaaaaaa!69C8! \[{\varphi _\alpha }\left( {x,{y_1}\left( x \right),...,{y_n}\left( x \right),y_1^'\left( x \right)....,y_n^'\left( x \right)} \right) = 0\quad \left( {\alpha = 1,...,m;\;m < n} \right)\] $$
    ((2))

    und auch vorgegebenen Randbedingungen zu genügen haben. Dabei soll der Spezialfall, daß einige oder alle Funktionen ϕα die Differentialquotienten y′i nicht enthalten, inbegriffen sein.

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Anmerkungen

Zu Kapitel IV [1, § 2]

  • Für die Methode der Lagrangeschen Multiplikation bei gewöhnlichen Maxima- und Minimaproblemen vgl. Carathéodory, C.: Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, 1. Aufl., S. 164–189. Leipzig: B. G. Teubner 1935.

    Google Scholar 

Zu Kapitel IV [1, § 3]

  • Bliss, G. A.: Lectures on the calculus of variations. Chicago: Chicago University Press 1946, insbesondere S. 196–199.

    MATH  Google Scholar 

  • Wir haben uns bei unserer Darstellung an die Arbeit von Radon, J.: Zum Problem von Lagrange, Hamburger Abh. H. 6, 273–299, Leipzig: B. G. Teubner 1929, angeschlossen.

    Google Scholar 

Zu Kapitel IV [1, § 4]

  • Carathéodory, C.: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik. Math. Ann. 67, 355–386 (1909). (Nachgedruckt in: Gesammelte Mathematische Schriften, Bd. II, S. 131 —166. München: Becksche Verlagsbuchhandlung MCMLV.)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  • Vgl. insbesondere auch Landé, A.: Axiomatische Begründung der Thermodynamik von C. Carathéodory. Handbuch der Physik, Bd. IX. (Herausgeg. von H. Geiger u. K. Scheel. Berlin: Snringer 1927.)

    Google Scholar 

  • Ehrenfest-Afanasjewa, T.: Die Grundlagen der Thermodynamik. Leiden: E. J. Brill 1956.

    Google Scholar 

Zu Kapitel IV [1, § 6]

  • Für das räumliche Problem vgl. z. B.: Levi-Civitá, T.: Über ein Luftfahrtproblem (Kurs im Wind). Schweiz. Bauztg. 122, 25–27 (1943).

    Google Scholar 

Zu Kapitel IV [2, § 1]

  • Einen elementaren Beweis dafür, daß für genügend kleine Bögen das Legendresche Kriterium hinreichend für die Existenz eines schwachen Minimums ist, findet man bei: Krull, W.: Zur Variationsrechnung. Arch. der Math. 5, 81—91 (1954).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

Zu Kapitel IV [2, § 2]

  • Morse, M.: Calculus of variation in the large, Vol. 18. New York: Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. 1934.

    Google Scholar 

Zu Kapitel IV [3, § 2]

  • Das hier verwendete Minimalprinzip stammt von Daniel Bernoulli, der seine Entdeckung Euler mitteilte. Die ausführliche Theorie der Elastica findet sich, wie in der Anmerkung zu Kap. I, 1, § 2, bereits erwähnt, bei Euler. Dieser hat auch die gestaltliche Form der Elastica mit Hilfe der Auflösung von elliptischen Integralen ermittelt. Bilder der Elastica finden sich außer bei Euler auch in vielen Lehrbüchern der Elastizitätstheorie.

    Google Scholar 

  • Nadai, A.: Labile Gleichgewichtslagen stark gebogener Stäbe. Techn. Bl., Prag (Zeitschrift des deutschen polytechnischen Vereines in Böhmen) 47, 125 bis 145 (1915).

    Google Scholar 

  • Nadai löst das Problem so, daß er in Abhängigkeit des Neigungswinkels der Elastica an den Auflagerstellen das zugehörige Gewicht bestimmt und denjenigen Wert des Neigungswinkels aufsucht, für den das Gewicht ein Maximum wird.

    Google Scholar 

  • Diese Methode ist mit der Methode der zweiten Variation gleichwertig. Vgl. auch Kap. Iii, 2, §§ 7 und 8.

    Google Scholar 

  • Timoshenko, S.: Theory of elastic stability. New York: McGraw Hill Book Comp. 1. Aufl. 1936, 2. Aufl. 1960

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  • verwiesen, wo auch zahlreiche Hinweise auf einschlägige Veröffentlichungen enthalten sind. Ich erwähne hier nur folgende, mich speziell interessierende Arbeiten: Radon, J.: Über Tschebyscheff-Netze auf Drehflächen und eine Aufgabe der Variationsrechnung. Mitt. Math. Ges. Hamburg 8 (II), 147–151 (1940).

    MathSciNet  Google Scholar 

  • Radon, J.: Gleichgewicht und Stabilität gespannter Netze. Arch. der Math. 5, 309–316 (1954).

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  • Hölder, E.: Stabknickung als funktionale Verzweigung und Stabilitätsprobleme. Jb. 1940 der dtsch. Luftfahrtforsch. S. 1799–1819.

    Google Scholar 

  • Czitary, E., u. G. Heinrich : Abwurfsicherheit des Tragseils auf einem Seilschuh. Ost. Ing.-Arch. 6, 372—386 (1952).

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  • Heinrich, G. : Zur Stabilität der Strickleiter. Ost. Ing.-Arch. 10, 175— 189 (1956).

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Zu Kapitel IV [3, § 3]

  • Maxwell, J . C. : Capillarity action — stability of a plane surface. J. C. Maxwell, Scientific Papers Bd. II, S. 585.

    Google Scholar 

  • Duprez, F. : Sur un cas particulier de l’equilibre des liquids. Nouv. Mem. Acad. Belg. 26 (1851) ; 28 (1854).

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  1. Paul Funk
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Funk, P. (1970). Probleme mit Nebenbedingungen. In: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 94. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88597-6_4

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