Zusammenfassung
Im vorliegenden Kapitel sollen die für unsere Zwecke wichtigen Fragen nach der Existenz von Potentialfunktionen mit vorgegebenen Randbedingungen oder Singularitäten diskutiert werden in einer Allgemeinheit, die für den Aufbau der Uniformisierungstheorie und für gewisse damit zusammenhängende allgemeine funktionentheoretische Probleme genügend ist. Wir folgen hierbei der Methode des alternierenden Verfahrens von Schwarz und Neumann. Verglichen mit den übrigen klassischen Methoden zur Begründung der hier betrachteten Existenzsätze, vor allem des Dirichletschen Prinzips und der Balayagemethode von Poincaré, zeichnet sich das alternierende Verfahren durch seinen konstruktiven Charakter aus. Es schließt sich auch in natürlicher Weise dem leitenden Gedanken in der Flächentheorie an. So wie eine Fläche aus einer Menge von Flächenelementen mit gegebenen Zusammenhangsrelationen aufgebaut wird, so werden auch mit dem alternierenden Verfahren gewisse Funktionselemente hergestellt, die dann durch Fortsetzung in Zusammenhang miteinander gebracht werden und die gesuchte Funktion im Großen erzeugen. Als ein Nebenresultat ergibt sich der Satz, daß eine Riemannsche Fläche stets das Abzählbarkeitsaxiom erfüllt (§ 3).
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Referenzen
Falls R kompakt ist, ist diese Bedingung von selbst erfüllt.
Es ist für das folgende wesentlich, daß das alternierende Verfahren unter allgemeineren als den von Schwarz vorausgesetzten Bedingungen betreffs der Gebiete G1 und G2 und ihrer Ränder zum Ziel führt ; vgl. hierzu meine Arbeit [5] .
Die endlich vielen Punkte von α1 α2 können, auch wenn f hier stetig ist, Unstetigkeitsstellen für u = v sein. Die Stetigkeit läßt sich nur unter zusätzlichen Voraussetzungen über die Menge α1α2 beweisen. Dies gelingt z. B. dann, wenn jeder Punkt von α1α2 in einem Kontinuum von Randpunkten auf α1 α2 = Γ enthalten ist.
Der damit ausgeschlossene Fall kann bei einer geschlossenen Fläche vorkommen.
A liegt, abgesehen von der Kurve α, auf der Fläche R1.
Das heißt: ω ist die wohlbestimmte eindeutige und beschränkte Potentialfunktion, welche auf α gleich 1, auf γ gleich 0 ist.
An dieser Stelle wird wesentlich davon Gebrauch gemacht, daß die Begrenzung γ von A + B nicht leer ist, denn sonst wäre ω ≡ 1 und damit q = 1. Aus diesem Grunde läßt sich der Beweis nicht ohne weiteres auf den Fall anwenden, daß die Fläche Rgeschlossen ist und A also die ganze Restfläche R1 umfaßt.
Vgl. Alexandroff-Hopf [1], S. 85, Satz III.
Die gesuchte notwendige Bedingung und die ganze nachfolgende Konstruktion würde sich einfach ergeben, wenn man die Triangulierbarkeit einer Riemannschen Fläche voraussetzen würde. Die nachfolgende Bemerkung (insbesondere Hilfssatz 2. von 4.36.) verdanke ich W. Graeub.
Dabei sind diese Kurven so zu orientieren, daß das Innere von K „zur Linken“ liegt.
Diese Bedingung ist bei den Anwendungen in 4.30. erfüllt.
Wir können annehmen, daß dies lauter Durchsetzungspunkte sind, denn eventuelle „Berührungspunkte“ lassen sich durch beliebig kleine Deformationen beseitigen, wodurch die Homologieeigenschaften nicht geändert werden.
Wir lassen hierbei zu, daß F auch endlich viele (nicht geschlossene) isolierte Jordanbögenα enthalten kann.
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Nevanlinna, R. (1967). Existenzsätze. In: Uniformisierung. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 64. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88561-7_5
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