Zusammenfassung
Bereits in den Anfängen der Funktionentheorie wird man dazu geführt, neben der offenen Zahlenebene z ≠ ∞ auch die durch den Punkt z = ∞ abgeschlossene komplexe Ebene (Zahlenkugel) zu betrachten; von diesem Begriff wurde im ersten Kapitel ausgiebig Gebrauch gemacht. Die offene und die geschlossene Ebene sind einfache Beispiele für den allgemeinen topologischen Begriff eines Umgebungsraumes, und wir wollen zunächst gewisse Eigenschaften der Ebene zusammenstellen, welche hierfür wesentlich sind.
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Referenzen
Bei Hausdorff [1*] wird im Anschluß an Weyl [1*] der topologische Raum anstatt durch Auszeichnung der offenen Mengen durch Auszeichnung der Umgebungen eines Punktes definiert; dabei werden die Eigenschaften A1 , A2, A3 als Axiome postuliert (A2 allerdings mit der Modifikation, daß der Durchschnitt zweier Umgebungen eine Umgebung nur enthält); hierzu kommt noch ein „Trennungsaxiom“, das wir später einführen werden. Die offenen Mengen werden dadurch gekennzeichnet, daß sie mit jedem ihrer Punkte eine Umgebung dieses Punktes enthalten; sie haben dann die Eigenschaft A . Für unsere Zwecke ist jedoch die im Text gegebene Definition des topologischen Raumes einfacher.
Es ist zu bemerken, daß das Trennungsaxiom B nicht aus C folgt.
Diese Definition ist sinnvoll, denn die Nachharrelationen sind topologische Abbildungen von Gebieten der z-Ebene; der elementare Begriff der orientierungserhaltenden Abbildung wird für die Zahlenebene als bekannt vorausgesetzt (Alexandroff-Hopf [1], XII, § 2).
Siehe Radó [1].
Siehe Alexandroff-Hopf [1*], II, § 1, Satz V.
Bei Weyl [1*] wird die Riemannsche Fläche an Hand des Begriffes des analytischen Gebildes eingeführt (vgl. hierzu die obigen Betrachtungen von 2.2., die sich von den WEYLschen nur dadurch unterscheiden, daß wir die Eigenschaft der Fläche, Uberlagerungsfläche der z-Ebene zu sein, betont haben, was für eine absolute Definition der Fläche im Sinne von Weyl, die mit beliebigen uniformisierenden Parametern arbeitet, nicht zweckmäßig ist).
Bei Radó [1] wird der Beweis als eine Folgerung des Uniformisierungstheorems gegeben.
Unter den 1-Simplexen können ausgeartete vorkommen, auch wenn σ 2 nicht ausgeartet ist.
Für Riemannsche Flächen ist dies eine unmittelbare Folgerung aus dem Riemannschen Abbildungssatz (Kap. VI). Daraus ergibt sich derselbe Satz allgemeiner für jede topologische, orientierbare, triangulierbare Fläche nach 2.91.
Das ist die von den Kommutatoren a ba -1 b -1 erzeugte Untergruppe von F; sie ist stets Normalteiler.
Dabei wird nicht verlangt, daß die Umgebung U von P bezüglich aller Urbildpunkte P0303 dieselbe sei.
Das Nichttriviale bei diesem Schluß ist, daß auch die Umkehrung der Abbildung stetig ist.
Ersetzt man jede Umgebung U0303 durch σ -1 (U), so läßt sich die Bedingung I so formulieren: Zu jedem Urbildpunkt P0303 von P gibt es eine Umgebung U0303, die topologisch auf eine feste Umgebung U von P abgebildet wird.
sofern sie zusammenhängend ist.
Vgl. hierzu Weyl [1].
Die folgenden Begriffe, wie überhaupt die oben entwickelte Theorie der Überlagerungsflächen, stehen in engem Zusammenhang mit dem Begriff der „inneren Transformation“ von S. Stoilow [1] .
Hieraus und aus der Tatsache, daß eine Riemannsche Fläche dem Abzählbarkeitsaxiom genügt, kann man schließen, daß die Fundamentalgruppe einer Riemannschen Fläche immer abzählbar ist. Denn ist R eine beliebige Riemannsche Fläche, so kann man ihre universelle Überlagerungsfläche R0302 zu einer Riemannschen Fläche machen und diese genügt daher (Kap. IV, § 3) dem Abzählbarkeitsaxiom. Daher können über einem Punkte von R nur abzählbar viele Punkte von R0302 liegen; diese entsprechen aber andererseits umkehrbar eindeutig den Elementen der Fundamentalgruppe von R.
Man beachte, daß die Stelle P0303, an der die Konformität von ϱ verletzt ist, nicht zum Durchschnitt k0303k03031 gehört.
Wegen des Begriffs der Triangulierbarkeit vgl. II, § 5.
Nach Radó [1] ist jede Fläche, die dem Abzählbarkeitsaxiom genügt, triangulierbar, so daß also der obige Satz für jede orientierbare Fläche gilt, welche das Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Auf die oben nachgewiesene Möglichkeit, eine triangulierbare Fläche zu einer Riemannschen zu machen bin ich durch eine mündliche Bemerkung von L. Ahlfors aufmerksam gemacht worden.
Satz von Radó [1].
Falls einer der Punkte z i mit dem Anfangspunkt z (0) = z (1) der Kurve zusammenfällt, so spielt es für das Vorzeichen des obigen Ausdruckes keine Rolle, ob man t i = 0 oder t i = 1 setzt.
Es kann P1 = P0 sein.
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Nevanlinna, R. (1967). Begriff der Riemannschen Fläche. In: Uniformisierung. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 64. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88561-7_3
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