Zusammenfassung
Um eine anschauliche Grundlage der allgemeinen Theorie der Rtemannschen Flächen zu gewinnen, sollen im vorliegenden Kapitel die wichtigsten Eigenschaften der algebraischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen untersucht werden. Historisch wurzelt das allgemeine Uniformisierungsproblem in der klassischen Aufgabe, für eine gegebene algebraische Kurve eine eindeutige Parameterdarstellung zu finden. Die Betrachtung der algebraischen Funktionen führt überhaupt in natürlicher Weise zu den allgemeinen Begriffen und Problemstellungen der Theorie der Riemannschen Flächen, welche den Gegenstand unserer Untersuchung bilden. Für diese Fragen, welche in den nachfolgenden Kapiteln eingehend und von einem allgemeinen Standpunkt aus untersucht werden sollen, bildet der vorliegende Abschnitt eine orientierende Vorbereitung.
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(z, w) bezeichnet die partielle Ableitung von F (z, w) nach w.
Dieser Satz wird im Kap. III genau diskutiert werden in der allgemeinen Fassung, die für die Funktionentheorie auf einer Riemannschen Fläche nötig ist.
Dies ist ein Spezialfall des Satzes von der Permanenz der Funktion algleichun gen.
1 Dies steht in keinem Widerspruch zur vorausgesetzten Irreduzibilität von F (z, w), denn die w i (z) sind für m > 1 keine rationalen Funktionen von z.
Falls a dem Gebiete T z angehört, lassen sich die zugehörigen m regulären eindeutigen Elemente offenbar in der Gestalt (1.13) darstellen mit μ = 1.
Auf den allgemeinen Begriff des analytischen Gebildes werden wir noch in Kap. III zurückkommen.
Ist a ein gerichteter (orientierter) Weg, so ist a -1 der entgegengesetzt orientierte. Ist der Endpunkt des Weges a Anfangspunkt des Weges b, so ist ab derjenige Weg, den man erhält, wenn man zuerst a und danach b durchläuft.
Die analytische Fortsetzung einer Summe von Funktionselementen ist gleich der Summe der entsprechenden analytischen Fortsetzungen der Summanden (falls diese Fortsetzungen existieren). Entsprechendes gilt für das Produkt.
Die Konformität dieser Abbildung scheint auf den ersten Blick an den Windungsstellen der Flächen gestört zu sein. Es ist aber zu bemerken, daß der Begriff der Konformität (Winkelmessung) an diesen Stellen nicht in Bezug auf die Veränderlichen z und w, sondern in bezug auf die lokal uniformisierende Variable t zu erklären ist, worauf wir noch näher zurückkommen werden.
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Nevanlinna, R. (1967). Algebraische Funktionen. In: Uniformisierung. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 64. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88561-7_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-88561-7_2
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