Unerreichbare Zahlen

Zusammenfassung

In der Reihe der Ordnungszahlen (sowie auch der Kardinalzahlen) existieren, gleichsam als Stationen, solche Zahlen, die für gewisse Operationen „unerreichbar“ sind, d. h. „Grenzzahlen“ sind. Dabei nennen wir, wenn F ein Funktional ist, das jeder Folge {α _ξ } _{ξ < λ} von beliebigem Typ λ ≥ 1 von Ordnungszahlen α _ξ eindeutig eine Ordnungszahl F α _ξ zuordnet, eine Ordnungszahl µ unerreichbar bezüglich F, wenn $\underset{\xi <\lambda }{\overset{\xi <\lambda }{\mathop{F}}}\,\alpha \xi <\mu$ Für λ < µ (oder für ein gewisses festgelegtes λ) und für α _ξ < µ für alle ξ < λ, sonst erreichbar. Unter diesen allgemeinen Begriff der unerreichbaren Zahl fallen, wie im folgenden gezeigt wird, alle wichtigen Klassen von transfiniten Zahlen (Limeszahlen, kritische Zahlen, Hauptzahlen, Grenzzahlen formaler Darstellungen eines Abschnitts der zweiten Zahlklasse, Anfangszahlen, Hausdorffsche exorbitante Zahlen, Zermelosche Grenzzahlen).