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Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse

  • Ludwig Bieberbach
Chapter
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Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Die Koeffizienten der Differentialgleichung
$$w(z) = {c_1}{w_1}(z) + {c_2}{w_2}(z) $$
(7.1.1)
seien in der Riemannschen Zahlenebene eindeutig und bis auf endlich viele singuläre Stellen regulär. Sie heißt Differentialgleichung der Fuchsschen Klasse, wenn jede dieser singulären Stellen eine Stelle der Bestimmtheit ist. Dann sind nach § 6.4. die im Endlichen gelegenen singulären Stellen Pole oder reguläre Stellen der Koeffizienten. Und zwar kann p1 (z) an der betreffenden singulären Stelle höchstens einen Pol erster und p2 (z) höchstens einen Pol zweiter Ordnung haben. Natürlich ist keine singuläre Stelle eine reguläre Stelle beider Koeffizienten. Sind dann a1,..., a n die sämtlichen im Endlichen gelegenen singulären Stellen, so müssen folgendes die Partialbruchzerlegungen der Koeffzienten p1 (z) und p2 (z) sein:
$${p_1}(z) = \sum\limits_1^n {\frac{{{A_k}}} {{z - {a_k}}}} + {g_1}(z) $$
,
$$ {p_2}(z) = \sum\limits_1^n {\{ \frac{{{B_k}}} {{{{(z - {a_k})}^2}}}} + \frac{{{C_k}}} {{z - {a_k}}}\} + {g_2}(z) $$
.

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Literatur

  1. 1.
    E. Papperitz: Math. Ann. 25 (1885).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Göttingen · Heidelberg 1965

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

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