Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse mit vier singulären Punkten

Zusammenfassung

Ich knüpfe an das in § 7.5. über die Form der Differentialgleichungen Gesagte an. Es zeigte sich damals, daß nach Vorgabe der Wurzeln der determinierenden Gleichung noch ein akzessorischer Parameter in der Differentialgleichung willkürlich bleibt, mit anderen Worten, daß es eine einparametrige Schar von Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse mit den gleichen vier singulären Stellen und den gleichen Wurzeln der determinierenden Gleichungen gibt. Es erhebt sich die Frage, durch welche Eigenschaften der Lösungen man den Wert des akzessorischen Parameters bestimmen kann, eine Frage also, die kein Analogon bei Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse mit weniger singulären Stellen besitzt. Wie in § 8.12. betrachte man den Quotienten zweier linear unabhängiger Lösungen. Es ist dabei einerlei, ob man die Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Form (7.5.4) oder in der Form (7.5.6) annimmt, da in den Quotienten zweier Lösungen ohnedies der Wert des Koeffizienten p ₁ von w’ in der Differentialgleichung nicht eingeht. In der Tat wurde ja in § 8.12. hervorgehoben, daß man nach Vorgabe des Quotienten s = w ₁/w ₂ bzw. der Schwarzschen Differentialgleichung dritter Ordnung (8.12.4), der er genügt, noch das p ₁ der Differentialgleichung zweiter Ordnung vorschreiben kann, der w ₁ und w ₂ genügen sollen.