Advertisement

Die grundlegenden Existenzsätze

  • Ludwig Bieberbach
Chapter
  • 48 Downloads
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 66)

Zusammenfassung

Ich nehme sie in der Normalform
$$ w' = f(w,z) $$
(1.1.1)
an. Es gilt der folgende Existenzsatz: Die Funktion f (w, z) sei in einem Gebiet 1 G der komplexen Veränderlichen (w, z) eindeutig und analytisch 2. Es bedeute w’ die Ableitung dw/dz. Es sei (w 0, z 0 ) eine Stelle aus G. Dann gibt es genau eine in einer Umgebung | z - z 0 | < R von z 0 reguläre analytische Funktion w(z), die 1. der Anfangsbedingung w(z 0 ) = w 0 genügt, für die 2. (w(z), z)G und 3. w’ (z) = f(w(z), z) für alle z ∈ | z - z 0 | < R erfüllt ist. Eine solche Funktion heißt Lösung oder Integral der Differentialgleichung w’ = f(w, z).

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 1.
    Vgl. z. B. L. Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 1, S. 203, 4. Aufl. Leipzig 1934.zbMATHGoogle Scholar
  2. 1a.
    L. Bieberbach: Einführung in die Funktionentheorie, 3. Aufl. Stuttgart 1959.Google Scholar
  3. 1.
    Émile Picard hat in seinem traité d’analyse (Bd. 2, 2. Aufl., S. 357, 1905) dazu den Existenzsatz der Theorie der partiellen Differentialgleichungen herangezogen. E. L. Ince hat in seinem verdienstvollen Buch 1927 darauf aufmerksam gemacht, daß Meyer Hamburgers Frage nach den gebrochenen Potenzen sich einfach durch den Hinweis erledigt, daß solche Lösungen bei z 0 Ableitungen genügend hoher Ordnung aufweisen müßten, die nicht mehr endlich sind. Ince hat dort darüber hinaus einen Beweis des im Text zu formulierenden Satzes von Painlevé für den Fall der Annäherung auf Wegen endlicher Länge gegeben. Aber auch er hat nicht bemerkt, daß P. Painlevé bereits 1897 in seinen Stockholmer Vorlesungen von 1895 den hier wiedergegebenen Beweis geliefert hat, der in seiner Einfachheit den Nagel auf den Kopf treffen dürfte. Aber vielleicht muß man erst selbständig auf den Beweisgedanken gekommen sein, um die knappe Andeutung auf S. 19 bis 20 bei Painlevé recht zu verstehen.Google Scholar
  4. 1.
    Die Leichtigkeit, mit der sich dieser Schluß ergibt, ist der Grund dafür, daß man nach Poincaré nicht mit der Majorante (1.5.6) sondern eben mit (1.5.7) arbeitet. Man vergleiche indessen eine Arbeit von O. Perron: Math. Ann. Bd. 113 (1937). Freilich machten die funktionentheoretischen Belange gewisse Abänderungen der Poincaréschen Majoranten notwendig.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Göttingen · Heidelberg 1965

Authors and Affiliations

  • Ludwig Bieberbach

There are no affiliations available

Personalised recommendations